Викия

Математика

Выборочная функция распределения

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Выборочная (эмпири́ческая) фу́нкция распределе́ния в математической статистике - это приближение теоретической функции распределения, построенное с помощью выборки из него.

ОпределениеПравить

Пусть X_1,\ldots, X_n,\ldots - выборка из распределения, задаваемого функцией распределения F(x). Будем считать, что X_i,\; i\in \mathbb{N} - независимые случайные величины, определённые на некотором пространстве элементарных исходов \Omega. Пусть x \in \mathbb{R}. Определим случайную величину \hat{F}(x):\Omega \to \mathbb{R} следующим образом:

\hat{F}(x) = \frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^n \mathbf{1}_{\{X_i \le x\}},

где \mathbf{1}_A - индикатор события A. Таким образом выборочная функция распределения в точке x равна количеству элементов выборки, не превосходящих значение x. Случайная величина \hat{F}(x) называется выборочной функцией распределения выборки X_1,\ldots,X_n.

Основные свойстваПравить

p(x_i) = N_{x_i}, \; i = 1,\ldots, n,

где x_i = X_i(\omega), а N_{x} = \sum\limits_{j=1}^n \mathbf{1}_{\{x = x_j\}} - количество элементов выборки, равных x. В частности, если все элементы выборки различны, то N_{x_i} = 1,\; \forall i.

\sum\limits_{i=1}^n x_i N_{x_i} = \bar{X}(\omega).

Таким образом выборочное среднее - это теоретическое среднее выборочного распределения.

n \hat{F}(x) \sim \mathrm{Bin}(n,F(x)).
\mathbb{E}\left[\hat{F}(x)\right] = F(x).
  • Дисперсия выборочной функции распределения имеет вид:
\mathrm{D}\left[\hat{F}(x)\right] = \frac{F(x)(1-F(x))}{n}.
\hat{F}(x) \to F(x) почти наверное при n \to \infty.
\sqrt{n}\left(\hat{F}(x) - F(x)\right) \to \mathrm{N}\left(0,F(x)(1-F(x))\right) по распределению при n \to \infty.

См.такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики