Викия

Математика

Выборочная дисперсия

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Выборочная дисперсия в математической статистике - это оценка теоретической дисперсии распределения на основе выборки. Различают выборочную дисперсию и несмещённую или исправленную выборочные дисперсии.

ОпределенияПравить

Пусть X_1,\ldots,X_n,\ldots - выборка из распределения вероятности. Тогда

S^2_n = \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2=\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i^2-\left(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^nX_i\right)^2,

где символ \bar{X} обозначает выборочное среднее.

  • Несмещённая (исправленная) дисперсия - это случайная величина
S^2 = \frac{1}{n-1} \sum\limits_{i=1}^n \left(X_i - \bar{X} \right)^2.

ЗамечаниеПравить

Очевидно,

S^2 = \frac{n}{n-1} S^2_n.

Свойства выборочных дисперсийПравить

S_n^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2

и

S^2 \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}}\; \sigma^2,

где \to^{\!\!\!\!\!\!\mathbb{P}} обозначает сходимость по вероятности.

  • Выборочная дисперсия является смещённой оценкой теоретической дисперсии, а исправленная выборочная дисперсия несмещённая:
\mathbb{E}\left[S^2_n\right] = \frac{n-1}{n}\sigma^2,

и

\mathbb{E}\left[S^2\right] = \sigma^2.
(n-1) \frac{S^2}{\sigma^2} \equiv n \frac{S^2_n}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1).

См. такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики