Викия

Математика

Возведение в степень

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Число a^b называется степенью с основанием a и показателем b.

Натуральная степень Править

Число с называется n-ной степенью числа а, если c = \begin{matrix} \underbrace{ a*a*\cdots*a } \\ n \end{matrix}.

Свойства:

  1. \left(ab\right)^n = a^nb^n
  2. \left({a\over b}\right)^n = {{a^n}\over{b^n}}
  3. a^na^m = a^{n+m}
  4. {a^n\over {a^m}} = a^{n-m}
  5. \left(a^n\right)^m = a^{nm}

Существует алгоритм быстрого возведения в степень, выполняющий возведение в степень за меньшее, чем в определении, число умножений.

Рациональная степень Править

По определению, a^{p\over q} = \sqrt[q]{a^p}, \quad p \in \mathbb{Z}\ , q \in \mathbb{N}\

См. корень степени q

Действительная степень Править

Пусть a>=0.

В школе действительную функцию вводят, используя тот факт, что между любыми двумя рациональными числами существует иррациональное, а между любыми двумя иррациональными - рациональное. Тогда a^p < \;a^r< \;a^q, где p<q, |p-q|<\epsilon, где \epsilon - погрешность вычисления. Таким образом, для любого иррационального числа r подбираются два рациональных p и q с необходимой степенью точности и любое число между a^p и a^q принимается за ответ.

Другой подход основан на теории рядов и логарифмов. (см. определение комплексной степени)

Комплексная степень Править

См. e (математическая константа)

Используем представление e^z и ln (z) в виде ряда:

e^z=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}z^n
\ln (z) = 2 \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2n+1} {\left ( \frac{z-1}{z+1} \right ) }^{2n+1},

теперь для вычисления a^z можно использовать cвойства степеней и логарифмов:

a^z = e^{ln (a^z)} = e^{z\ ln(a)}

См. также Править

Ссылки Править

А.Б.Будак, Б.М.Щедрин "Элементарная математика" - Подготовка к вступительным экзаменам в МГУ

Викия-сеть

Случайная вики