Викия

Математика

Внешняя алгебра

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Внешняя алгебра (алгебра Грассмана) — алгебраическая система, применяемая для описания подпространств векторного пространства. Впервые введена Грассманом.

Определение Править

Внешняя алгебра векторного пространства V над полем kассоциативная алгебра над k, операция в которой обозначается знаком \wedge, порождающими элементами которой являются 1,e_1,...,e_n, где e_1,\dots,e_n — базис пространства V, а определяющие соотношения имеют вид

  • e_i\wedge e_j=-e_j\wedge e_i (i,j=1,\dots,n), e_i\wedge e_i=0;
  • e_i\wedge 1=1\wedge e_i = e_i  (i=1,\dots,n), 1\wedge 1=1.

Внешняя алгебра обычно обозначается \wedge V, она не зависит от выбора базиса.

Подпространство \wedge^r V (для r=0, 1, \dots, n) в \wedge V, порождённое элементами вида e_{i_1}\wedge...\wedge e_{i_r}, назывется r-ой внешней степенью пространства V.

Свойства Править

  • Имеют место равенства:
\operatorname{dim}\wedge V=2^n
\operatorname{dim}\wedge^r V=C^n_r, в частости
\wedge^r V=0 при r>n.
  • градуированная комутативность: u\wedge v=(-1)^{rs}v\wedge u, если u\in\wedge^rV, v\in\wedge^sV.
  • Элементы пространства \wedge^rV называются r-векторами; их можно понимать также как кососимметрические r раз контравариантные тензоры над V,
  • Линейно независимые системы из r векторов x_1, \dots, x_r и y_1, \dots, y_r из V порождают одно и то же подпространство тогда и только тогда, когда r-векторы x_1\wedge \dots \wedge x_r и y_1\wedge \dots \wedge y_r пропорциональны.he:מכפלת וודג'

Викия-сеть

Случайная вики