Викия

Математика

Вложенные радикалы

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Вложенные радикалы — в алгебре радикалы, содержащие другие радикалы. Например:

\sqrt{5-2\sqrt{5}\ }

или более сложный пример

\sqrt[3]{2+\sqrt{3}+\sqrt[3]{4}\ }.

Упрощение вложенных радикаловПравить

Некоторые вложенные радикалы могут быть упрощены, например:

\sqrt{3+2\sqrt{2}} = 1+\sqrt{2}\,,
\sqrt[3]{\sqrt[3]{2} - 1} = \frac{1 - \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{9}} \,.

В общем случае, упрощение является сложной проблемой, если оно вообще возможно.

 \sqrt{a \pm b\sqrt{c}}=\sqrt{\frac{a+R}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-R}{2}}, где  R=\sqrt{a^2-b^2c} \in \Q

В частности для комплескных чисел (c=-1).

 \sqrt{a+bi}=\pm \left ( \sqrt{\frac{\left | z \right | +a}{2}}+i \sgn(b) \sqrt{\frac{\left | z \right | -a}{2}} \right ), где  \left | z \right |=\sqrt{a^2+b^2}.

Бесконечно вложенные радикалыПравить

Общие положенияПравить

В некоторых случаях бесконечно вложенные радикалы могут быть тождественны некоторому рациональному числу, например, выражение

 x = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}}}

равно 2. Для того чтобы это увидеть, возведем обе части выражения в квадрат и отнимем 2:

 x^2 - 2 = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots}}} = x ;
 x^2 - x - 2 = 0 ;
 x_1 = 2, x_2 = -1 .

Очевидно, что  -1 не может являться значением исходного радикала. В общем случае:

 \sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\sqrt{a+\cdots}}}} = \frac{1 + \sqrt {1+4a}}{2}

Тривиальные случаиПравить

  • Для квадратного корня:
     \sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{a+b\sqrt{\cdots}}}}} = \frac{b + \sqrt {b^2+4a}}{2} ;
  • Для корня степени  n
     \sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{a+b\sqrt[n]{\cdots}}}}} = x,
    где  x является решением уравнения  x^n - b x - a = 0 .

Нетривиальные случаиПравить

Частные случаиПравить

 \phi = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{\cdots}}}}

 \frac{2}{\pi} = \sqrt\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt\frac{1}{2}}} \cdots

СсылкиПравить

ИсточникиПравить

Викия-сеть

Случайная вики