Вещественное число

Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.

Вещественные или действительные числа — математическая абстракция, служащая в частности для представления физических величин. Такое число может быть интуитивно представлено как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа строятся на базисе более простых объектов таких, как целые и рациональные числа. Свойства вещественных чисел являются важнейшим объектом изучения математического анализа.

Содержание 1 Аксиоматическое определение 1.1 Полное упорядоченное поле 1.2 Изоморфизм полных упорядоченных полей 2 Пополнение рациональных чисел 3 Дедекиндовы сечения 3.1 Пример 3.2 Бесконечные десятичные дроби 4 Ссылки

[править] Аксиоматическое определение

[править] Полное упорядоченное поле

Пусть на множестве заданы две бинарные операции и и отношение порядка . Четвёрка называется полным упорядоченным полем, если

1. представляет собой алгебраическое поле;
2. является полностью упорядоченным множеством;
3. бинарные операции и согласованы с отношением порядка , то есть
   • порядок устойчив относительно сложения:

     

   • порядок устойчив относительно умножения:

     .

4. упорядоченное множество удовлетворяет принципу полноты Вейерштрасса, то есть любое ограниченное сверху множество имеет точную верхнюю грань.

[править] Изоморфизм полных упорядоченных полей

Пусть даны два полных упорядоченных поля и . Тогда они называются изоморфными, если существует биекция такая, что

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Любые два полных упорядоченных поля изоморфны между собой. Таким образом с точностью до свойств операций и порядка существует только одно полное упорядоченное поле. Оно называется полем действительных чисел. Аксиомы полного упорядоченного поля, перечисленные выше, называются аксиомами вещественных чисел.

[править] Пополнение рациональных чисел

Вещественные числа могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел по отношению к обычной метрике . Рассмотрим семейство фундаментальных последовательностей рациональных чисел Назовём две последовательности и эквивалентными, если существует предел

Введённое таким образом отношение является отношением эквивалентности и следовательно разбивает рассматриваемое семейство на непересекающиеся классы эквивалентности. Отождествляя рациональное число с фундаментальной последовательностью , можно считать, что полученное фактор-множество содержит рациональные числа. Зададим на фактор-множестве бинарные операции и порядок следующим образом:

• 
• 
• 

Непосредственно проверяется, что это построение корректно и полученная таким образом четвёрка является полным упорядоченным полем. В силу изоморфизма полных упорядоченных полей эту структуру можно называть полем действительных чисел и более того считать, что

[править] Дедекиндовы сечения

Рассмотрим опять множество рациональных чисел Дедекиндовым сечением множества называется такое его разбиение, что замкнуто снизу, замкнуто сверху, и не содержит наибольшего элемента. Отождествим произвольное рациональное число c сечением где

и введём на семействе Дедекиндовых сечений бинарные операции и порядок следующим образом:

• , где
  • 
  • 
• , где
  • 
  • 
• 

Опять непосредственное проверяется, что таким образом построено полное упорядоченное поле, содержащее в себе с точностью до изоморфизма рациональные числа. В силу изоморфизма всех упорядоченных линейных полей между собой можно считать полученное поле вещественными числами.

[править] Пример

Число соответствует сечению , где

[править] Бесконечные десятичные дроби

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида , где являются десятичными цифрами, то есть .

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид и , где

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда .

[править] Ссылки

• Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
• Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.

п·о·р Числа
натуральные · целые · рациональные · вещественные · комплексные

Эта статья содержит материал из статьи Вещественное число русской Википедии.