Викия

Математика

Вещественное число

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Вещественные или действительные числа — это вместе взятые множества рациональных и иррациональных чисел. Такое число может быть интуитивно представлено как отношение двух величин одной размерности, или описывающие положение точек на прямой. Множество вещественных чисел обозначается \mathbb{R} и часто называется вещественной или числовой прямой. Формально вещественные числа строятся на базисе более простых объектов таких, как целые и рациональные числа. Свойства вещественных чисел являются важнейшим объектом изучения математического анализа.

Аксиоматическое определение Править

Полное упорядоченное поле Править

Пусть на множестве X заданы две бинарные операции + и отношение порядка \le. Четвёрка (X,+,\cdot,\le) называется полным упорядоченным полем, если

  1. (X,+,\cdot) представляет собой алгебраическое поле;
  2. (X,\le) является полностью упорядоченным множество с отношением порядка , то есть
    • порядок устойчив относительно сложения:
      \forall x,y,z\in X \quad \bigl( x \le y \bigr) \Rightarrow \bigl( x+z \le y+z \bigr)
    • порядок устойчив относительно умножения:
      \forall x,y\in X \quad \bigl(0 \le x\bigr) \wedge \bigl( 0 \le y \bigr) \Rightarrow \bigl( 0 \le x \cdot y \bigr).
  3. упорядоченное множество (X,\le) удовлетворяет принципу полноты Вейерштрасса, то есть любое ограничен

Изоморфизм полных упорядоченных полей Править

Пусть даны два полных упорядоченных поля (X,+_X,\cdot_X,\le_X) и (Y,+_Y,\cdot_Y,\le_Y). Тогда они называются изоморфными, если существует биекция f:X\to Y такая, что

  1. \forall x_1,x_2\in X\quad f(x_1) +_Y f(x_2) = f(x_1 +_X x_2);
  2. \forall x_1,x_2\in X\quad f(x_1) \cdot_Y f(x_2) = f(x_1 \cdot_X x_2);
  3. f(0_X) = 0_Y;
  4. f(1_X) = 1_Y;
  5. \forall x_1,x_2\in X\quad \bigl( x_1 \le_X x_2 ) \Leftrightarrow \bigl( f(x_1) \le_Y f(x_2) \bigr).

Любые два полных упорядоченных поля изоморфны между собой. Таким образом с точностью до свойств операций и порядка существует только одно полное упорядоченное поле. Оно называется полем действительных чисел. Аксиомы полного упорядоченного поля, перечисленные выше, называются аксиомами вещественных чисел.

Пополнение рациональных чисел Править

Вещественные числа \Bbb{R} могут быть построены как пополнение множества рациональных чисел \Bbb{Q} по отношению к обычной метрике d(r,\;q)=|r-q|. Рассмотрим семейство фундаментальных последовательностей рациональных чисел \{r_n\}_{n\in \mathbb{N}}. Назовём две последовательности \{r_n\} и \{q_n\} эквивалентными, если существует предел

\lim\limits_{n \to \infty} r_n - q_n = 0.

Введённое таким образом отношение является отношением эквивалентности и следовательно разбивает рассматриваемое семейство на непересекающиеся классы эквивалентности. Отождествляя рациональное число q\in \mathbb{Q} с фундаментальной последовательностью q_n = q,\; n \in \mathbb{N}, можно считать, что полученное фактор-множество содержит рациональные числа. Зададим на фактор-множестве бинарные операции и порядок следующим образом:

  • [\{r_n\}] + [\{q_n\}] = [\{r_n+q_n\}];
  • [\{r_n\}] \cdot [\{q_n\}] = [\{r_n \cdot q_n\}].
  • \bigl([\{r_n\}] \le [\{q_n\}] \bigr) \Leftrightarrow \bigl( \exists N \in \mathbb{N}\; \forall n > N \quad r_n \le q_n \bigr).

Непосредственно проверяется, что это построение корректно и полученная таким образом четвёрка является полным упорядоченным полем. В силу изоморфизма полных упорядоченных полей эту структуру можно называть полем действительных чисел и более того считать, что \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}.

Дедекиндовы сечения Править

Рассмотрим опять множество рациональных чисел \mathbb{Q}. Дедекиндовым сечением (A,B) множества \mathbb{Q} называется такое его разбиение, что A замкнуто снизу, B замкнуто сверху, и A не содержит наибольшего элемента. Отождествим произвольное рациональное число q\in \mathbb{Q} c сечением (A_q,B_q), где

A_q = \{q'\in \mathbb{Q} \mid q' < q\},\; B_q = \{q'' \in \mathbb{Q} \mid q'' \ge q\},

и введём на семействе Дедекиндовых сечений бинарные операции +, \cdot и порядок \le следующим образом:

  • (A_1,B_1) + (A_2,B_2) = (A_3,B_3), где
    • A_3 = \{q_1 + q_2 \mid q_1 \in A_1,\; q_2 \in A_2\},
    • B_3 = \{r_1 + r_2 \mid r_1 \in B_1,\; r_2 \in B_2\};
  • (A_1,B_1) \cdot (A_2,B_2) = (A_3,B_3), где
    • B_3 = \{ r_1 \cdot r_2 \mid r_1 \in B_1,\; r_2 \in B_2 \},
    • A_3 = \mathbb{Q}\setminus B_3;
  • \bigl( (A_1,B_1) \le (A_2,B_2) \bigr) \Leftrightarrow (A_1 \subset A_2).

Опять непосредственное проверяется, что таким образом построено полное упорядоченное поле, содержащее в себе с точностью до изоморфизма рациональные числа. В силу изоморфизма всех упорядоченных линейных полей между собой можно считать полученное поле вещественными числами.

Пример Править

Число \sqrt{2} соответствует сечению (A,B), где

A = \left\{q\in \mathbb{Q} \mid q < 0 \vee q^2 < 2 \right\},\; B = \left\{q\in \mathbb{Q} \mid q > 0 \wedge q^2 \ge 2 \right\}.

Бесконечные десятичные дроби Править

Такое задание, как правило, практикуется в школьной программе и во многом похоже на пополнение рациональных чисел.

Бесконечной десятичной дробью (со знаком) называется последовательность вида \pm d_{-k} d_{-k+1}\ldots d_{0}, d_{1} d_{2}\ldots, где d_i являются десятичными цифрами, то есть 0\leqslant d_i< 10.

Две последовательности называются эквивалентными, если они либо совпадают, либо их различающиеся «хвосты» имеют вид d999\ldots и (d+1)000\ldots, где 0\leqslant d\leqslant8

Вещественные числа определяются как классы эквивалентности десятичных дробей. Операции на десятичных дробях определяются позиционно подобно операциям над целыми числами в позиционных системах счисления.

Значение десятичной дроби формально задается суммой ряда \pm\sum_{i=-k}^{\infty} d_i\cdot 10^{-i}.

Ссылки Править

  • Кириллов, А. А. Что такое число? // Выпуск 4-й серии «Современная математика для студентов». — М.: Физматлит, 1993.
  • Понтрягин, Л. С. Обобщения чисел // Серия «Математическая библиотечка». — М.: Наука, 1965.


Шаблон:Категория только в статьях


Эта статья содержит материал из статьи Вещественное число русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики