Викия

Математика

Векторный потенциал

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В векторном анализе векторный потенциал — это векторное поле, ротор которого равен заданному векторному полю. Он аналогичен скалярному потенциалу, который определяется как скалярное поле, градиент которого с обратным знаком равен заданному векторному полю.

Формально, если v — векторное поле, векторным потенциалом называется векторное поле A такое, что

 \mathbf{v} = \nabla \times \mathbf{A}.

Если A является векторным потенциалом для поля v, то из тождества

\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0

(дивергенция ротора равна нулю) следует

\nabla \cdot \mathbf{v} = \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{A}) = 0,

то есть v должно быть Шаблон:Не переведено.

Для любого соленоидального векторного поля, удовлетворяющего определённым условиям, существует векторный потенциал.

ТеоремаПравить

Пусть

\mathbf{v} : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3

— дважды непрерывно дифференцируемое Шаблон:Не переведено. Предположим, что v(x) убывает достаточно быстро при ||x||→∞. Определим

 \mathbf{A} (\mathbf{x}) = \frac{1}{4 \pi} \nabla \times \int_{\mathbb R^3} \frac{ \mathbf{v} (\mathbf{y})}{\left\|\mathbf{x} -\mathbf{y} \right\|} \, d\mathbf{y}.

Тогда A является векторным потенциалом для v, то есть

\nabla \times \mathbf{A} =\mathbf{v}.

Обобщением этой теоремы является Шаблон:Не переведено, согласно которому любое векторное поле может быть представлено как сумма соленоидального векторного поля и Шаблон:Не переведено.

НеоднозначностьПравить

Векторный потенциал соленоидального векторного поля определяется неоднозначно. Если A является векторным потенциалом для v, также им является

 \mathbf{A} + \nabla m

где m — любая непрерывно дифференцируемая скалярная функция. Это является следствием того факта, что ротор градиента равен нулю.

Эта неоднозначность даёт дополнительную степень свободы в формулировке электродинамики и называется калибровкой(Шаблон:Lang-en).

Векторный потенциал в физикеПравить

Смотрите основную статью Потенциалы электромагнитного поля

Электромагнитное поле наиболее обще описывается 4-вектором (\phi, \mathbf{A}), компонентами которого являются (скалярный) потенциал \phi, и векторный потенциал \mathbf{A}.

Связь с индукцией магнитного и напряжённостью электрического полей:

\mathbf{B} = \nabla \times \mathbf{A}
\mathbf{E} = -\frac1{c} \frac{\partial}{\partial t}\mathbf{A} - \nabla \phi

См. Ландау и Лифшиц, т.2 "Теория поля".

См. такжеПравить

Литература Править

Викия-сеть

Случайная вики