Викия

Математика

Векторное произведение

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Правые и левые тройки векторов Править

Три вектора называются упорядоченной тройкой, если указано, какой из этих векторов является первым, какой — вторым, а какой — третьим.

Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если, будучи приведёнными к общему началу, эти векторы располагаются так, как могут быть расположены соответственно большой, несогнутый указательный и средний пальцы правой (левой) руки.

Определение Править

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, обозначаемый  \vec c = \left[ \vec a \vec b \right] и удовлетворяющий следующим требованиям:

  • длина вектора c равна произведению длин векторов a и b на синус угла φ; между ними


\left| \vec c \right| = \left| \vec a \right| \left| \vec b \right| \sin \phi

  • вектор c ортогонален каждому из векторов a и b
  • вектор c направлен так, что тройка векторов abc является правой.

Геометрические свойства векторного произведения Править

  • Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.
  • Модуль векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b
  • Если e - орт векторного произведения a и b, а S - площадь параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b, то для векторного произведения справедлива формула:


[ \vec a \vec b ] = S \vec e

  • Если c - какой-нибудь вектор, π - любая плоскость, содержащая этот вектор, e - единичный вектор, лежащий в плоскости π и ортогональный к c, g - единичный вектор, ортогональный к плоскости π и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости π вектора a справедлива формула


\left[ \vec a \vec c \right] = Pr_{ \vec e }  \vec a \left| \vec c \right| \vec g

Алгебраические свойства векторного произведения Править

  •  \left[ \vec a \vec b \right] = - \left[ \vec b \vec a \right] (свойство антикоммутативности);
  •  \left[ \left(\alpha \vec a \right) \vec b \right] = \left[ \vec a \left(\alpha \vec b \right) \right] = \alpha \left[ \vec a \vec b \right] (свойство ассоциативности относительно умножения на скаляр);
  •  \left[ \left( \vec a + \vec b \right) \vec c \right] = \left[ \vec a \vec c \right] + \left[ \vec b \vec c \right] (свойство дистрибутивности по сложению);
  •  \left[ \vec a \vec a \right] =\vec  0 для любого вектора a.

Выражение для векторного произведения в декартовых координатах Править

Если два вектора a и b определены своими прямоугольными координатами


\vec a = \left\{ X_1, Y_1, Z_1 \right\}
\vec b = \left\{ X_2, Y_2, Z_2 \right\}

то иx векторное произведение имеет вид


[ \vec a \vec b ] = \left\{Y_1 Z_2 - Y_2 Z_1, Z_1 X_2 - Z_2 X_1, X_1 Y_2 - X_2 Y_1 \right\}

Для запоминания этой формулы удобно использовать символ определителя :


[ \vec a \vec b ] = \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ X_1 & Y_1 & Z_1 \\ X_2 & Y_2 & Z_2 \end{vmatrix}

См. также Править

Смешанное произведение векторов

Ссылки Править

cs:Vektorový součin da:Krydsproduktgl:Produto vectorial he:מכפלה וקטורית hu:Vektoriális szorzat is:Krossfeldinl:Kruisproduct nn:Kryssprodukt pl:Iloczyn wektorowysk:Vektorový súčin sl:Vektorski produkt sv:Kryssprodukt th:ผลคูณไขว้ uk:Векторний добуток vi:Nhân vectơ

Викия-сеть

Случайная вики