Викия

Математика

Вариация функции

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В математическом анализе вариацией функции из отрезка на вещественной прямой в \mathbb{R}^n называется обобщение понятия длины кривой, задаваемой в \mathbb{R}^n этой функцией.

Формальное определение Править

Пусть f: [a,b] \to \mathbb{R}^n. Тогда вариацией (также полной вариацией или полным изменением) функции f на отрезке [a,b] называется следующая величина:

V_a^b f\ \stackrel{def}{=}\ \sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m||f(x_{k+1})-f(x_k)||,

то есть точная верхняя грань по всем разбиениям отрезка [a,b] длин ломаных в \mathbb{R}^n, концы которых соответствуют значениям f в точках разбиения.

Функции, вариация которых ограничена на отрезке, называются функциями ограниченной вариации, а класс таких функций обозначается V[a,b]. В таком случае определена функция v(x)=V_a^x f, называющаяся функцией полной вариации для f.

Связанные определенияПравить

Положительная вариация вещественнозначной функции f на отрезке [a,b] называется следующая величина:

P_a^b f\ \stackrel{def}{=}\ \sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,f(x_{k+1})-f(x_k)\}.

Аналогично определяется отрицательная вариация функции:

N_a^b f\ \stackrel{def}{=}\ \sup\limits_{P}\sum\limits_{k=0}^m\max\{0,f(x_k)-f(x_{k+1})\}.

Таким образом полная вариация функции может быть представлена в виде суммы

V_a^b f=P_a^b f+N_a^b f.

Свойства функций ограниченной вариации Править

  • Сумма и произведение функций ограниченной вариации тоже будет иметь ограниченную вариацию.
  • Если a<x\leqslant y<b, а f\in V[a,b], то V_a^x f+V_x^y f=V_a^y f.
  • Если функция f непрерывна в точке a справа и принадлежит V[a,b], то \lim\limits_{x\to a{+}}v(x)=0.
  • Функция f(x), заданная на отрезке [a,b], является функцией ограниченной вариации тогда и только тогда, когда она может быть представлена в виде суммы возрастающей и убывающей функции на [a,b] функций (разложение Жордана).
  • Всякая функция ограниченной вариации ограничена и может иметь не более чем счётное множество точек разрыва, причём все I рода.
  • Функция ограниченной вариации может быть представлена в виде суммы абсолютно непрерывной функции, сингулярной функции и функции скачков (разложение Лебега).

Вычисление вариации Править

Вариация непрерывно дифференцируемой функции Править

Если функция f:[a,b]\to\mathbb{R}^n принадлежит классу C^1, то есть имеет непрерывную производную первого порядка на отрезке [a,b], то f — функция ограниченной вариации на этом отрезке, а вариация вычисляется по формуле:

\int\limits_a^b||f^\prime(x)||\,dx,

то есть равна интегралу нормы производной.

ОбобщенияПравить

В случае нескольких, переменных существует несколько определений вариации функции, см. вариация Арцела, вариация Витали, вариация Пъерпонта, плоская вариация Тонелли, вариация Фреше, вариация Харди.

См. также Править

ЛитератураПравить

  • Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, пер. с франц., М.— Л., 1934.

Викия-сеть

Случайная вики