Викия

Математика

Булева функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В математике булевой функцией называют функцию типа \mathsf{B}^n\to\mathsf{B}, где \mathsf{B}=\{0,1\}булево множество, а n — неотрицательное целое число, которое называют арностью. Элементы 0 (ноль) и 1 (единица) стандартно интерпретируют как истину и ложь, хотя в общем случае их смысл может быть любым. Элементы \mathsf{B}^n называют булевыми векторами. В случае n=0 булева функция превращается в булеву константу.

Основные сведения Править

Каждая булева функция арности n полностью определяется заданием своих значений на своей области определения, то есть на всех булевых векторах длины n. Число таких векторов равно 2^n. Поскольку на каждом векторе функция может принимать значение либо 0, либо 1, количество всех n-арных булевых функций равно 2^{2^n}. То, что каждая булева функция задаётся конечным массивом данных, позволяет представлять их в виде таблиц. Такие таблицы носят название таблиц истинности и в общем случае имеют вид:

x_1 x_2 \cdots x_n f(x_1,x_2,\ldots,x_n)
0 0 \cdots 0 f(0,0,\ldots,0)
1 0 \cdots 0 f(1,0,\ldots,0)
0 1 \cdots 0 f(0,1,\ldots,0)
1 1 \cdots 0 f(1,1,\ldots,0)
\vdots \vdots \vdots \vdots \vdots
0 1 \cdots 1 f(0,1,\ldots,1)
1 1 \cdots 1 f(1,1,\ldots,1)

Практически все булевы функции малых арностей (0, 1 и 2) сложились исторически и имеют конкретные имена.

Нульарные функции Править

При n = 0 количество булевых функций сводится к двум, первая из них тождественно равна 0, а вторая 1. Их называют булевыми константами.

Унарные функции Править

При n=1 число булевых функций равно 2^{2^1} = 4. Им соответствуют следующие таблицы истинности.

x g1 (\lnot) g2 (=) g3 (1) g4 (0)
0 1 0 1 0
1 0 1 1 0

Здесь:

  • g1(x) — отрицание (обозначения: \neg x,\,\overline{x},\,x'),
  • g2(x) — тождественная функция,
  • g3(x) и g4(x) — соответственно, тождественная истина и тождественная ложь.

Бинарные функции Править

При n=2 число булевых функций равно 2^{2^2} = 16. Им соответствуют следующие таблицы истинности.

x y f1 (\land) f2 (\lor) f3 (\equiv) f4 (\oplus) f5 (\leftarrow) f6 (\rightarrow) f7 (\downarrow) f8\mid )
0 0 0 0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
1 1 1 1 1 0 1 1 0 0
x y f9 f10 f11 f12 f13 f14 f15 f16
0 0 0 0 1 1 0 0 1 0
0 1 0 1 1 0 0 1 1 0
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0
1 1 0 0 0 0 1 1 1 0

Здесь:

  • f1(x, y) — конъюнкция (обозначения: x&y, x\cdot y, x y, x\land y),
  • f2(x, y) — дизъюнкция (обозначение: x \lor y),
  • f3(x, y) — эквивалентность (обозначения: x\sim y, x\equiv y, x\leftrightarrow y),
  • f4(x, y) — исключающее «или» (сложение по модулю 2; обозначения: x \oplus y, x+y),
  • f5(x, y) — импликация от y к x (обозначения: x\leftarrow y, x \subset y),
  • f6(x, y) — импликация от x к y (обозначения: x\rightarrow y, x\supset y),
  • f7(x, y) — стрелка Пи́рса(функция Да́ггера, функция Ве́бба, антидизъюнкция; обозначение: x\downarrow y),
  • f8(x, y) — штрих Ше́ффера (антиконъюнкция; обозначение: x \mid y),
  • f9(x, y) — отрицание импликации f6(x, y),
  • f10(x, y) — отрицание импликации f5(x, y),
  • f11(x, y) = g1(x),
  • f12(x, y) = g1(y),
  • f13(x, y) = g2(x),
  • f14(x, y) = g1(y),
  • f15(x, y), f16(x, y) — тождественная истина и тождественная ложь.

Полные системы булевых функций Править

См. также основную статью: Замкнутые классы булевых функций

Суперпозиция и замкнутые классы функций Править

Результат вычисления булевой функции может быть использован в качестве одного из агрументов другой функции. Результат такой операции суперпозиции можно рассматривать как новую булеву функцию со своей таблицей истинности. Например, функции f(x,y,z)=\overline{x(\overline{y}\lor z)} (суперпозиция конъюнкции, дизъюнкции и двух отрицаний) будет соответствовать следующая таблица:

x y z f(x,y,z)
0 0 0 1
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 0

Говорят, что множество функций замкнуто относительно операции суперпозиции, если любая суперпозиция функций из данного множества тоже входит в это же множество. Замкнутые множества функций называют также замкнутыми классами.

В качестве простейших примеров замкнутых классов булевых функций можно назвать множество \{x\}, состоящее из одной тождественной функции, или множество \{0\}, все функции из которого тождественно равны нулю вне зависимости от своих аргументов. Замкнуты также множество функций \{x,\overline{x}\} и множество всех унарных функций. А вот объединение замкнутых классов может таковым уже не являться. Например, объединив классы \{0\} и \{x,\overline{x}\}, мы с помощью суперпозиции \overline{0} сможем получить константу 1, которая в исходных классах отсутствовала.

Разумеется, множество P_2 всех возможных булевых функций тоже является замкнутым.

Тождественность и двойственность Править

Две булевы функции тождественны друг другу, если на любых одинаковых наборах аргументов они принимают равные значения. Тождественность функций f и g можно записать, например, так:
f(x_1, x_2, \dots, x_n)=g(x_1, x_2, \dots, x_n))

Просмотрев таблицы истинности булевых функций, легко получить такие тождества:

\overline{0}=1 \overline{1}=0 \overline{\overline{x}}=x xy=yx x\lor y=y \lor x
0x=0 1x=x 0\lor x=x 1\lor x=1 xx=x\lor x=x

А проверка таблиц, построенных для некоторых суперпозиций, даст следующие результаты:

x\overline{x}=0 x\lor\overline{x}=1
\overline{x\cdot y}=\overline{x}\lor\overline{y} \overline{x}\cdot\overline{y}=\overline{x\lor y} (законы де Моргана)

x(y\lor z)=xy\lor xz
x\lor yz=(x\lor y)(x\lor z) (дистрибутивность конъюнкции и дизъюнкции)


Функция g(x_1,x_2,\dots,x_n) называется двойственной функции f(x_1,x_2,\dots,x_n), если f(\overline{x_1},\overline{x_2},\dots,\overline{x_n})=\overline{g(x_1,x_2,\dots,x_n)}. Легко показать, что в этом равенстве f и g можно поменять местами, то есть функции f и g двойственны друг другу. Из простейших функций двойственны друг другу константы 0 и 1, а из законов де Моргана следует двойственность конъюнкции и дизъюнкции. Тождественная функция, как и функция отрицания, двойственна сама себе.

Если в булевом тождестве заменить каждую функцию на двойственную ей, снова получится верное тождество. В приведённых выше формулах легко найти двойственные друг другу пары.

Полнота системы, критерий Поста Править

См. также основную статью: Критерий Поста

Система булевых функций называется полной, если можно построить их суперпозицию, тождественную любой другой заранее заданной функции. Говорят ещё, что замыкание данной системы совпадает с множеством P_2.

Американский математик Эмиль Пост ввёл в рассмотрение следующие замкнутые классы булевых функций:

  • Функции, сохраняющие константу T_0 и T_1;
  • Самодвойственные функции S;
  • Монотонные функции M;
  • Линейные функции L.

Им было доказано, что любой замкнутый класс булевых функций, не совпадающий с P_2, целиком содержится в одном из этих пяти так называемых предполных классов, но при этом ни один из пяти не содержится целиком в объединении четырёх других. Таким образом критерий Поста для полноты системы сводится к выяснению, не содержится ли вся эта система целиком в одном из предполных классов. Если для каждого класса в системе найдётся функция, не входящая в него, то такая система будет полной, и с помощью входящих в неё функций можно будет получить любую другую булеву функцию.

Заметим, что существуют функции, не входящие ни в один из классов Поста. Любая такая функция сама по себе образует полную систему. В качестве примеров можно назвать функцию Шеффера или стрелку Пирса.

Представление булевых функций Править

Теорема Поста открывает путь к представлению булевых функций, синтаксическим способом, который в ряде случаев оказывается намного удобнее чем таблицами истинности. Отправной точкой здесь служит нахождение некоторой полной системы функций \Sigma = \{f_1,\ldots,f_n\}. Тогда каждая булева функция сможет быть представлена некоторым термом в сигнатуре \Sigma, который в данном случае называют также формулой. Относительно выбраной системы функций полезно знать ответы на следующие вопросы:

  • Как построить по данной функции представляющую её формулу?
  • Как проверить, что две разные формулы эквивалентны, то есть задают одну и ту же функцию?
    • В частности: существует ли способ приведения произвольной формулы к эквивалентной её канонической форме, такой что, две формулы эквивалентны тогда и только тогда, когда их канонические формы совпадают?
  • Как по данной функции построить представляющую её формулу с теми или иными заданными свойствами (например наименьшего размера), и возможно ли это?

Положительные ответы на эти и другие вопросы существенно увеличивают прикладное значение выбранной системы функций.

Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) Править

См. также основную статью: Дизъюнктивная нормальная форма

Простой конъюнкцией, или конъюнктом, называется конъюнкция некоторого конечного набора переменных, или их отрицаний, причём каждая переменная встречается не более одного раза. Дизъюнктивной нормальной формой или ДНФ называется дизъюнкция простых конъюнкций. Например a \overline{b} c\lor b c\lor\overline{a}  — является ДНФ.

Совершенной дизъюнктивной нормальной формой, или СДНФ относительно некоторого заданного конечного набора переменных называется такая ДНФ, у которой в каждую конъюнкцию входят все переменные данного набора, причём в одном и том же порядке. Например: a \overline{b} c\lor a b c\lor\overline{a} b\overline{c}.

Легко убедится, что каждой булевой функции соответствует некоторая ДНФ, и даже СДНФ. Для этого достаточно взять таблицу истинности этой функции и найти все булевы векторы, на которых её значение равно 1. Для каждого такого вектора b=(b_1,b_2,\ldots,b_n) строится конъюнкция x_1^{b_1} x_2^{b_2}\ldots x_n^{b_n}, где x_i^1 = x_i x_i^0 = \overline{x_i}. Если взять дизъюнкцию этих конъюнкций, то результатом очевидно будет СДНФ. Поскольку на всех булевых векторах её значения совпадают со значениями исходной функции, она будет СДНФ этой функции. Например, для импликации x\to y, результатом будет \overline{x} y \lor \overline{x}\, \overline{y}\lor x y, что можно упростить до \overline{x}\lor y.

Шаблон:Section-stub

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) Править

См. также основную статью: Конъюнктивная нормальная форма

Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) определяется двойственно к ДНФ. Простой дизъюнкцией или дизъюнктом называется дизъюнкция одной или нескольких переменных или их отрицаний, причём каждая переменная входит в неё не более одного раза. КНФ — это конъюнкция простых дизъюнкций.

Совершенной конъюнктивной нормальной формой (СКНФ), относительно некоторого заданного конечного набора переменных, называется такая КНФ, у которой в каждую дизъюнкцию входят все переменные данного набора, причём в одном и том же порядке. Поскольку (С)КНФ и (С)ДНФ взаимодвойственны, свойства (С)КНФ повторяют все свойства (С)ДНФ, грубо говоря, «с точностью до наоборот».

КНФ может быть преобразована к эквивалентной ей ДНФ, путём раскрытия скобок по правилу:

a (b\lor c)\to a b\lor a c

которое выражает дистрибутивность конъюнкции относительно дизъюнкции. После этого, необходимо в каждой конъюнкции удалить повторяющиеся переменные или их отрицания, а также выбросить из дизъюнкции все конъюнкции, в которых встречается переменная вместе со своим отрицанием. При этом, результатом не обязательно будет СДНФ, даже если исходная КНФ была СКНФ. Точно также, можно всегда перейти от ДНФ к КНФ. Для этого следует использовать правило

a\lor b c\to (a \lor b)(a \lor c)

выражающее дистрибутивность дизъюнкции относительно конъюнкции. Результат нужно преобразовать способом, описанным выше, заменив слово «конъюнкция» на «дизъюнкция» и наоборот.

Шаблон:Section-stub

Полиномы Жегалкина Править

Шаблон:Planned

BDD Править

Шаблон:Planned

См. также Править

Литература Править

Ссылки Править

Шаблон:Computer-sci-stub

Викия-сеть

Случайная вики