Викия

Математика

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

ОпределениеПравить

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли — совместное распределение двух случайных величин, первая независимая, а вторая зависимая от первой


\prod_{i=1}^kP(t_i,X_i=n_i \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}2^{-n},

i=1,2=k, \quad 2\le k \le n ,

определённых на точечных пространствах элементарных событий


\Omega_1, \quad \Omega _2

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени


t_1, \quad t_2, \quad  t_i<t_{i+1}

целые неотрицательные значения


n_1, \quad n_2,

с равновероятными успехами


p_1=p_2=2^{-1},\quad p_1+p_2=1,

соответствующих распределений Бернулли и взаимосвязанные условием


n_1+n_2=n <\infty,

согласно которому


t_2, X_2=n_2 \mid t_1, X_1=n_1

если в первый момент времени t_1 первая случайная величина X_1 приняла случайное значение n _1,  \quad  0\le n_1\le n, то во второй момент времени t_2,\quad t_2> t_1 вторая случайная величина X_2 вынуждена принять единственно возможное значение n_2=n-n_1, \quad  0\le n_2=n-n_1\le n.

ПояснениеПравить

Вероятность первой случайной величины X_1, принявшей в первый момент времени t_1 числовое значение n_1, равна числу сочетаний из n по n_1 {n \choose n_1}, умноженному на вероятность выбора одного элемента p_1=2^{-1}, возведённую в степень числа n_1 выбранных элементов


P_1( t_1,X_1=n_1)= {n \choose n_1}p_1^{n_1}= {n \choose n_1}2^{-n_1}.

Вероятность второй случайной величины X_2 принимает во второй момент времени t_2 числовое значение n_2=n-n_1 при условии, что в первый момент времени t_1 первая случайная величина X_1 приняла числовое значение n_1 равна числу сочетаний из n-n_1 по n_2=n-n_1 {n-n_1 \choose n_2=n-n_1}= {n-n_1 \choose n-n_1}=1, умноженному на вероятность выбора одного элемента p_2=2^{-1}, возведённую в степень числа n_2 выбранных элементов


P_2(t_2,X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)=p_2^{n_2}= 2^{-n_2}.

Произведение вероятностей первой и второй случайных величин есть вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли


P_1( t_1,X_1=n_1) P_2(t_2,X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)={n \choose n_1}2^{-n_1}2^{-n_2}=\frac{n!}{n_1! n_2!}2^{-n}.

где   \frac{n!}{n_1! n_2!}= {n \choose n_1}={n\choose n_2}, \quad n_1+n_2=n .

Технические задачи и технические результатыПравить

Для получения биномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике [1],  [2].

Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания биномиального распределения.

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица, \chi^2 -квадрат критерий и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения (таблица 1).

Таблица – Характеристики биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли
Пространство элементарных событий \sum_{i=1}^{k=2}\Omega_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})
Вероятность \prod_{i=1}^{k=2}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}2^{-n}
Максимальная вероятность

(при математическом ожидании распределения)

 \left(\frac{n!}{n_i!n_2!}2^{-n}\right)_{max}= \frac{1}{2}
Математическое ожидание

(как максимальное произведение математических ожиданий

случайных величин)

\left(\prod_{i=1}^{k=2}E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1})\right)_{max}=\frac{1}{2}
Дисперсия \sum_{i=1}^{k=2}D(t_i,X_i =n_i)=\sum_{i=1}^2(n-n_{i-1})\frac{k-1}{k^2}
Максимальная дисперсия

(при математическом ожидании распределения)

D(X_1,X_2)_{max}=\left(\sum_{i-1}^{k=2}(n-n_{i-1})p_iq_i \right)_{max}=\frac{3}{4}
Ковариационная матрица B=\| b_{ij} \|, где\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\
0, & i \not= j
\end{cases}
Корреляционная матрица \Rho=\| \rho_{ij} \|, где
\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\
0, & i \not= j
\end{cases}
\chi^2 - критерий  \chi^2=\sum_{i=1}^2 [X_i-(n -n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/(n -n_{i-1})p_i^{(0)}==-n+\sum_{i=1}^2X_i^2 /(n-n_{i-1})p_i^{(0)}

Схема повторных циклов случайных зависимых экспериментов с равновероятными успехами испытаний БернуллиПравить

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли появляется в так называемой биномиальной схеме повторных циклов случайных зависимых экспериментов. Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности t_1,\quad t_2 , номера точек которой соответствуют номерам случайных величин.

Каждая из случайных величин распределения X_i=n_i|X_{i-1}=n_{i-1} — это число n_i наступлений одного соответствующего события


x_i,\quad i=1,\quad 2=k

в  i - ый момент времени при условии, что в (i-1) - ый момент произошло n_{i-1} наступлений предшествующего события x_{i-1} с положительным исходом, все вероятности которых равны p_1=p_2 нормированы p_1+p_2=1 и неизменны во время проведения экспериментов.

Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события x_i равна p_i, то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события x_1, \quad x_2 наступят n_1,\quad n_2 раз соответственно.

Случайная величина биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли в соответствующей точке дискретной временной последовательности t_1,\quad t_2 имеет:

пространство элементарных событий


\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0\le n_i \le n-\ldots-n_{i-1}],

вероятность


P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}k^{-1}={n-\ldots-n_{i-1}\choose n_i}2^{-1},

математическое ожидание


E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=(n-\ldots-n_{i-1})k^{-1}=(n-\ldots-n_{i-1})2^{-1}

и дисперсию


D(t_i,X_i =n_i)=( n-\ldots-n_{i-1})\frac{k-1}{k^2}=( n-\ldots-n_{i-1})\frac{1}{4}.

Пространство элементарных событий биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек  t_1,\quad t_2 цикла, а вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли — произведение вероятностей его случайных величин.

Вероятностная схема биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний БернуллиПравить

содержит циклы повторных зависимых экспериментов. Количество циклов не ограничено. В каждом цикле число экспериментов равно числу случайных величин распределения. Первый эксперимент является независимым, а второй эксперимент в цикле зависим от результата первого эксперимента. Все эксперименты осуществляют методом выбора без возвращения — изъятые элементы не возвращают на свое прежнее место до полного окончания данного цикла.

Случайные события – выборки случайных объемов n_i,\quad i=1,2=k, \sum_{i=1}^{k=2}n_i=n осуществляют из n - множества различимых (различающиеся между собой хотя бы одним признаком, например, порядковым номером) неупорядоченных (хаотично расположенных) элементов и следуют в последовательные моменты времени t_1,\quad t_2.

Число выборок k=2 равно числу случайных величин распределения.

Случайные величины X_1,\quad X_2 распределения — появления случайного числа элементов n - множества в n_i - подмножествах n_i, n_2 , с равными вероятностями p_i=p_2=k^{-1}=2^{-1} каждого элемента.

Попадание одного произвольного элемента n - множества в одно из подмножеств — независимое событие — испытание Бернулли с положительным исходом; вероятности этих испытаний равны p_1=p_2, нормированы p_1+p_2=1 и неизменны во время проведения повторных зависимых экспериментов.

Один цикл повторных зависимых экспериментов, осуществляемых методом выбора без возвращения — последовательность k=2 выборок случайных объёмов n_1,\quad n_2, обработка результатов разделения n - множества на два подмножества n_1,\quad n_2 в последовательные моменты времени t_1, \quad t_2 и возврат всех n изъятых элементов на прежнее место к началу следующего цикла.

Совместное проявление вероятностей попадания k=2 выборок случайных объёмов n_1,\quad  n_2 в одном цикле экспериментов — вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли p_i=p_2=k^{-1}=2^{-1}.

Урновая модель биномиального распределения с равновероятными успешными исходами испытаний БернуллиПравить

Состав: одна исходная урна и две приёмных урн. Объем каждой из них не менее объёма исходной урны.

Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени t_0 исходная урна содержит n - множество различимых неупорядоченных элементов, а все приёмные урны пусты.

В первый момент времени t_1 из исходной урны осуществляют первую выборку n_1, 0\le n_1\le n случайного объёма и направляют её в первую приёмную урну с вероятностью p_1=k^{-1}=2^{-1} каждого элемента.

Во второй момент времени t_2 все элементы n_2=n-n_1, оставшиеся в исходной урне, направляют во вторую приёмную урну с вероятностью p_2=k^{-1}=2^{-1} каждого.

В результате исходная урна пуста, а все её элементы размещены в приёмных урнах.

После обработки результатов разбиения исходного n - множества на два подмножества все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну.

На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего аналогичного цикла.

Произведение вероятностей попадания n_1, 0\le n_1\le n, \quad n_2=n-n_1 элементов исходного n - множества в первую и вторую урны соответственно есть вероятность биномиального распределения с равновероятными исходами испытаний Бернулли.

Два способа получения вероятностей биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний БернуллиПравить

Первый способ относится к способам разделения дискретного целого на две части случайных объёмов, в сумме равные исходному целому.

Второй способ является частным случаем способа разделения дискретного целого на несколько частей случайных объёмов, в сумме равных исходному целому.

Первый способПравить

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): 2\le n < \infty .

Составные части — два дискретных подмножества, в сумме равные объёму множества.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени t_0 , не обязательно равный нулю t_0 \ne 0, множество содержит n, 2\le n < \infty различимых неупорядоченных элементов.

В первый момент времени t_1 из n-множества осуществляют первую выборку случайного объёма n_1, 0 \le n_1 \le n с вероятностью p_1=2^{-1} каждого её элемента.

Вероятность первой случайной величины P_1(t_1,\quad X_1=n_1) биномиального распределения определяется числом сочетаний {n \choose n_1} из n по n_1, умноженным на вероятность p_1=2^{-1} выбора одного элемента, возведённую в степень числа n_1 выбранных элементов:


P_1(t_1, X_1=n_1)={n \choose n_1}p_1^{n_1}={n \choose n_1}2^{-n_1}.

Во второй момент времени t_2 все оставшиеся n-n_1 элементы исходного множества выбирают с вероятностью p_2=2^{-1} каждого её элемента.


P_2(t_2, X_2=n_2 \mid t_1,X_1=n_1)={n-n_1 \choose n_2}2^{-n_2}.

Произведение двух вероятностей есть вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли


\prod_{i=1}^{k=2}P_i(t_i,X_i=n_i \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}2^{-n},

\sum_{i=1}^{k=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.

Когда число случайных величин равно k,\quad 0\le k \le n имеют место вероятность мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли.


\prod_{i=1}^kP_i(t_i,X_i=n_i \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!\cdots n_k!}k^{-n},

 \sum_{i=1}^kn_i=n, \quad \sum_{i=1}^kp_i=1.

Второй способПравить

Способ получения вероятности биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли может быть получен как частный случай способа получения вероятности мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли при сокращении в последнем числа случайных величин до двух: k=2.

В итоге получаем требуемый результат


\prod_{i=1}^{k=2}P_i(t_i,X_i=n_i \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1!n_2!}2^{-n},

\sum_{i=1}^{k=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.

Два способа получения математического ожидания биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний БернуллиПравить

Первый способПравить

Этот способ относится к техническим задачам разделения дискретного целого на две составные части случайных объёмов.

От способа получения математического ожидания полиномиального распределения тем, что число выборок k равно числу k=2 случайных величин биномиального распределения.

При этом, как и в полиномиальном распределении каждая выборка имеет единичный объём: n_i=1, \quad i=1,2=k, \quad k=n .

Целым является множество дискретных элементов, различимых (хотя бы одним признаком, например, порядковыми номерами) и не упорядоченных (хаотично расположенных): 2\le n < \infty .

Составные части — дискретные подмножества 2\le k \le n < \infty , в сумме равные объёму множества.

Разделение множества на подмножества осуществляют выборками без возвращения.

Выборки следуют во времени одна за другой.

В начальный момент времени t_0 , не обязательно равный нулю t_0 \ne 0, множество содержит два n=2 различимых неупорядоченных элементов.

В первый момент времени t_1 из n-множества осуществляют первую выборку n_1=1 единичного объёма с вероятностью p_1=n^{-1}.

Вероятность первой случайной величины P_1(t_1, X_1=n_1=1) биномиального распределения определяется числом сочетаний  {n \choose n_1} из n по n_1=1, умноженным на вероятность p_1=n^{-1} выбора одного элемента:


P_1(t_1, X_1=n_1=1)={n \choose n_1}p_1={n \choose 1}n^{-1}=\frac{n}{n}.

Во второй момент времени t_2 из оставшихся n-n_1 элементов исходного множества осуществляют вторую выборку n_2=1 единичного объёма с вероятностью p_2=n^{-1}.

Вероятность второй случайной величины P_2(t_2, X_2=n_2=1) при условии, что в первый момент времени вероятность первая случайная величина полиномиального распределения приняла значение P_1(t_1, X_1=n_1=1), определяется числом сочетаний {n-n_1 \choose n_2} из n-n_1 по n_2=1, умноженным на вероятность p_2=n^{-1} выбора одного элемента:


P_2(t_2, X_2=n_2=1 \mid t_1,X_1=n_1=1)={n-n_1 \choose n_2}p_2={n-n_1 \choose 1}n^{-1}=\frac{n-1}{n}.

Произведение вероятностей есть математическое ожидание биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли


P_1(t_1, X_1=n_1=1)P_2(t_2, X_2=n_2=1 \mid t_1,X_1=n_1=1)=\frac{n-1}{n}\frac{n}{n}=\frac{n-1}{n}=\frac{1}{2},


\sum_{i=1}^{n=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.

Второй способПравить

Математическое ожидание биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли получают как частный случай математического ожидания мультиномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли при одновременном сокращении числа случайных величин до двух и числа испытаний до двух k=2,\quad  n=2 :


\prod_{i=1}^{n=2}P_i(t_i,X_i=n_i=1 \mid  t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1}=1)=\prod_{i=1}^{n=2}\frac{n-n_{i-1}}{n}=\frac {n!}{n^n}=\frac {1}{2},

\sum_{i=1}^{n=2}n_i=n, \quad \sum_{i=1}^{k=2}p_i=1.

Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектамиПравить

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли это:

  • случайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени  t_1,\quad t_2 и в пространстве конечного  n- множества различимых неупорядоченных элементов на две части  n_1, \quad n_2 случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества:  n_1+ n_2=n, \quad 2\le n<\infty ,
  • разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
  • вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за соответствующую вероятность успеха (успешного завершения испытания) распределения Бернулли  0\le p_i<1, \quad i=1,2,
  • вероятности успехов Бернулли распределений нормируют  \sum _{i=1}^{k=2} p_i =1 согласно аксиоматике Колмогорова и принимают неизменными до окончания испытаний,
  • очерёдность следования выборок принимают за очередность следования во времени и нумерацию случайных величин  X_1, \quad  X_2 биномиального распределения,
  • случайный объём каждой выборки  n_i, \quad i=1,2 в момент времени  t_i, \quad i=1,2 принимают за числовое значение соответствующей случайной величины  X_i=n_i, \quad i=1,2 биномиального распределения,
  • если в первый момент времени t_1 первая случайная величина X_1 приняла значение

n_1, \quad  0\le n_1\le n,

то во второй момент времени t_2 вторая случайная величина X _2 принимает значение


 n _2, \quad  0\le n_2=n- n_1,
  • результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,
  • математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок k равно числу элементов  n-множества  k=n и численно равно  \frac{n!}{n^n}=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2}.

Биномиальное распределение как цепь МарковаПравить

Биномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. (X_0, называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла t_0=0, \quad X_0=0, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.)

Единственная переходная вероятность


P(t_2>t_1,\quad X_2=n_2=n-n_1 \quad |\quad t_1<t_2,\quad X_1=n_1)

заключается в том, что вторая случайная величина X_2 во второй момент времени t_2 вынуждена принять числовое значение, равное  0\le n_2=n-n_1 , при условии, что в первый момент времени t_1 первая случайная величина X_1 приняла случайное значение, равное n_1, \quad 0\le n_1\le n.

Следовательно и вероятность биномиального распределения с равновероятными успехами испытаний Бернулли


\prod_{i=1}^{k=2}P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}

как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин является простейшей цепью Маркова. Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице p_1+p_2=1. Следовательно, биномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Связь с другими распределениямиПравить

Если k>2 и p_i\ne p_j хотя бы для одной пары вероятностей, то имеет место мультиномиальное распределение интерпретации 21-го века.

Если p_1=\ldots =p_k, то имеет место мультиномиальное распределение с равновероятными успехами испытаний Бернулли.

Если p_1=\dots p_k и все случайные величины распределения считались независмыми, то в 20-ом веке имели место следующие названия: распределение Максвелла - Больцмана [3], статистика Максвелла - Больцмана [4], распределение Больцмана [5], статистика Больцмана [6].

Если p_1\ne p_2,\quad p_+ p_2=1, то имеет место биномиальное распределение интерпретации 21-го века.

ЛитератураПравить

  1.  http://ru.wikipedia.org/wiki/ Математическая физика
  2.  Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.
  3. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. Том 1. М.: Мир, 1984. С.40,59,61,62.
  4. Максвелла - Больцмана статистика. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклодедия, 1999, с. 295. ISBN 585270265X
  5. Шорин С. Я. Больцмана распределение. Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклодедия, 1999. С. 55. ISBN 585270265X
  6. Зубарев Д. Н. Больцмана статистика Вероятность и математическая статистика. Энциклопедия / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. М.: Большая Российская энциклодедия, 1999. С. 55. ISBN 585270265X

См.такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики