Викия

Математика

Биномиальное распределение одной случайной величины

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.


Традиционная интерпретация 20-го века Править

Биномиа́льное распределе́ние в теории вероятностейраспределение количества «успехов» в последовательности из n независимых случайных экспериментов, таких что вероятность «успеха» в каждом из них равна p.

Определение Править

Пусть X_1 ,\ldots, X_n — конечная последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

X_i = \left\{
\begin{matrix}
1, & p \\
0, & q \equiv 1-p
\end{matrix} \right.,\; i=1,\ldots, n.

Построим случайную величину Y:

Y = \sum\limits_{i=1}^n X_i.

Тогда Y, число единиц (успехов) в последовательности X_1,\ldots, X_n, имеет биномиальное распределение с n степенями свободы и вероятностью «успеха» p. Пишем: Y \sim \mathrm{Bin}(n,p). Её функция вероятности даётся формулой:

p_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y = k) = C_n^k\, p^k q^{n-k},\; k=0,\ldots, n,

где C_n^k = \frac{n!}{(n-k)! \, k!}биномиальный коэффициент.

Функция распределения Править

Функция распределения биномиального распределения может быть записана в виде суммы:

F_Y(y) \equiv \mathbb{P}(Y \leq y) = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor y \rfloor} C_n^k\, p^k q^{n-k},\; y \in\mathbb{R},

где \lfloor y \rfloor обозначает наибольшее целое, не превосходящее число y, или в виде неполной бета-функции:

F_Y(k) \equiv \mathbb{P}(Y \le k ) = I_{1-p}(n-k,k+1).

Моменты Править

Производящая функция моментов биномиального распределения имеет вид:

M_Y(t) = \left( pe^t + q\right)^n,

откуда

\mathbb{E}[Y] = np,
\mathbb{E}\left[Y^2\right] = np ( q + np ),

а дисперсия случайной величины.

\mathbb{D}[Y] = npq.

Свойства биномиального распределения Править

  • Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n,p) и Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n, 1-p). Тогда p_{Y_1}(k) = p_{Y_2}(n-k).
  • Пусть Y_1 \sim \mathrm{Bin}(n_1,p) и Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_2,p). Тогда Y_1 + Y_2 \sim \mathrm{Bin}(n_1+n_2, p).


Биномиальное распределение не может быть распределением одной случайной величины Править

Доказательство первое Править

Если биномиальное распределение одной случайной величины имеет математическое ожидание MX=np, то при условии n>\frac{1}{p} математическое ожидание биномиального распределения одной случайной величины будет превышать единицу MX=np>1, что недопустимо, поскольку согласно второй аксиоме Колмогорова (см. Аксиоматика Колмогорова) сумма всех вероятностей любого распределения обязана быть равной единице.

Что и требовалось доказать

Доказательство второе - Буняковского Править

Биномиальное распределение двух случайных величин было получено путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином. [1]

В современной записи биномиальное распределение Буняковского имеют следующий вид:


P(X_1=n_1, X_2=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},

2=k \le n< \infty, \quad n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1.

Связь с другими распределениями Править

Литература Править

  1. Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.

См. такжеПравить

Вероятностные распределения
Одномерные Многомерные
Дискретные: Бернулли | биномиальное | геометрическое | гипергеометрическое | логарифмическое | отрицательное биномиальное | Пуассона | равномерное мультиномиальное
Абсолютно непрерывные: Бета | Вейбулла | Гамма | Колмогорова | Коши | логнормальное | Лоренца | нормальное (Гаусса) | равномерное | Парето | Стьюдента | Фишера | хи-квадрат | экспоненциальное | Эрланга многомерное нормальное
править

Это краткий критический анализ статьи из русскоязычной энциклопедии http://ru.math.wikia.com/wiki/Биномиальное_распределение - Математика.  

.

Викия-сеть

Случайная вики