Викия

Математика

Биномиальное распределение двух случайных величин

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Интерпретация 21-го векаПравить

Биномиальное распределение — это распределение двух случайных величин X_1 и X_2 в дискретной временной последовательности t_1,t_2, вторая случайная величина зависима от первой, числовые значения случайных величин n_1 и n_2 это числа успехов в n испытаниях (n_1+n_2=n ) с постоянными вероятностями успехов ( распределений Бернулли) p_1 и p_2, пронормированных p_1+p_2=1 согласно аксиоматике Колмогорова .

Таблица 1 – Характеристики биномиального распределения двух случайных величин (интерпретации 21-го века)
Пространство элементарных событий \sum_{i=1}^2\Omega_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})
Вероятность \prod_{i=1}^2P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}
Максимальная вероятность

(при математическом ожидании распределения)

 \left(\frac{n!}{n_i!n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\right)_{max}= \frac{1}{2}
Математическое ожидание

(как максимальное произведение математических ожиданий случайных величин)

\left(\prod_{i=1}^2E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1})\right)_{max}=\frac{1}{2}
Дисперсия \sum_{i=1}^2D(t_i,X_i=n_i)=\sum_{i=1}^2(n-n_{i-1})p_iq_i
Максимальная дисперсия

(при математическом ожидании распределения)

D(X_1,X_2)_{max}=\left(\sum_{i-1}^2(n-n_{i-1})p_iq_i \right)_{max}=\frac{3}{4}
Ковариационная матрица B=\| b_{ij} \|, где b_{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\
0, & i \not= j
\end{cases}
Корреляционная матрица \Rho=\| \rho_{ij} \|, где 
\rho _{ij} = \begin{cases} 1, & i=j,\\
0, & i \not= j
\end{cases}
\chi^2 - критерий  \chi^2=\sum_{i=1}^2 [X_i-(n -n_{i-1})p_i^{(0)}]^2/(n -n_{i-1})p_i^{(0)}==-n+\sum_{i=1}^2X_i^2 /(n-n_{i-1})p_i^{(0)}

Биномиальная схема повторных циклов случайных зависимых экспериментовПравить

Каждый цикл экспериментов осуществляют методом выбора без возвращения в дискретной временной последовательности


t_1, t_2.

Каждая из случайных величин распределения


X_i=n_i \mid X_{i-1}=n_{i-1}

это n_i наступлений одного события


x_i,  i =1,2

в i - ый момент времени при условии, что в (i-1) - ый момент произошло n_{i-1} наступлений предшествующего события x_{i-1}, — распределения Бернулли с успехом, вероятности которых p_i нормированы


p_1+p_2=1

и неизменны во время проведения экспериментов.

Если в каждом цикле экспериментов вероятность наступления события x_i равна p_i, то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события x_1, x_2 наступят n_1,  n_2 раз соответственно.

Случайная величина биномиального распределения в соответствующей точке дискретной временной последовательности t_1, t_2 имеет:

пространство элементарных событий


\Omega_i(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})= [0\le n_i \le n-n_{i-1}],

вероятность


P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={n-n_{i-1}\choose n_i}p_i^{n_i},

математическое ожидание


E(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=( n-n_{i-1})p_i

и дисперсию


D(t_i,X_i=n_i)=( n -n_{i-1})p_iq_i, \quad q_i=1-p_i .

Пространство элементарных событий биномиального распределения есть сумма точечных пространств элементарных событий его случайных величин, образующих дискретную последовательность точек  t_1,  t_2 цикла, а вероятность биномиального распределения — произведение вероятностей его случайных величин.

Технические задачи и технические результатыПравить

Для получения биномиального распределения необходимо решить две технические задачи и получить технические результаты, относящиеся к математической физике [1], [2].

Первая и вторая технические задачи — соответственно получение вероятности и математического ожидания биномиального распределения.

Технические результаты — набор технических параметров, с одной стороны, минимально необходимый для описания биномиального распределения и его случайных величин, с другой стороны, позволяющий при необходимости расширить число параметров с целью получения дополнительных сведений о распределении, например, таких как корреляционная матрица, ковариационная матрица и другие.

Минимально необходимый набор параметров при решении первой технической задачи: пространство элементарных событий, вероятность, математическое ожидание и дисперсия каждой случайной величины распределения, дисперсия распределения и произведение математических ожиданий его случайных величин как исходное выражение для решения второй технической задачи.

При решении второй технической задачи минимально необходимый набор параметров аналогичен предыдущему набору. Исключен из-за ненадобности один параметр — произведение математических ожиданий случайных величин и дополнен двумя параметрами — максимальной вероятностью и максимальной дисперсией биномиального распределения.

Биномиальное распределение — совместное распределение двух случайных величин Править


\prod_{i=1}^2P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1} p_2^{n_2},

\frac{n!}{n_1!n_2!}={n\choose n_1,n_2}= {n \choose n_1}={n\choose n_2},

2\le k \le n <\infty,  \qquad n_1+n _2=n, \qquad p_1+p_2=1,

определённых на точечных пространствах элементарных событий


\Omega_1,  \Omega _2

и принимающих в дискретные последовательные моменты времени


t_1,  t_2, \quad  t_i<t_{i+1}

целые неотрицательные значения


n_1, n_2,

взаимосвязанные условием


n_1 +n_2=n,

согласно которому


X_2=n_2 \mid X_1=n_1

если в первый момент времени t_1 первая случайная величина X_1 приняла значение


n_1, \quad  0\le n_1\le n,

то во второй момент времени t_2 вторая случайная величина X _2 принимает значение


 n _2, \quad  0\le n_2\le n- n_1.

Характер зависимости случайных величин в каждом цикле экспериментов:Править

  • только первая случайная величина является независимой, а вторая случайная величина зависима от первой;
  • если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё максимально возможное значение, равное X_1=n, то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё минимальное (нулевое) значение X_2=n_2=0 в противном случае не будет выполнено условие суммирования числовых значений случайных величин распределения, согласно которому n_1+n _2=n;
  • если первая случайная величина в первый момент времени приняла своё минимальное (нулевое) значение X_1=n_1=0, то вторая случайная величина во второй момент времени обязана принять своё максимальное значение X_2=n_2=n в противном случае не будет выполнено условие n_1+n _2=n.

Характеристики случайных величин биномиального распределения:Править

пространство элементарных событий


\Omega_i(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=[0 \le n_i \le n-n_{i-1}],

вероятность


P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})={n-n_{i-1}\choose n_i}p_i^{n_i},

математическое ожидание


E(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=(n-n_{i-1})p_i,

дисперсия


D(t_i,X_i=n_i)=(n -n_{i-1})p_iq_i, \quad q_i=1-p_i,

производящая


A(s_i)=(1+p_is_i)^{n-n_{i-1}}

и характеристическая


f(t_i)=(1+p_ie^{jt_i})^{n-n_{i-1}}

функции.

Варианты получения математического ожидания биномиального распределенияПравить

Два варианта: как максимум произведения математических ожиданий его случайных величин: как максимум вероятности распределения.

Необходимые


k=n, \qquad n_i=1,  \qquad  0<p_i<1,

и достаточные


p_1=p_2=2^{-1}

условия получения математического ожидания биномиального распределения.

Математическое ожидание


\left(\prod_{i=1}^2E(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\right)_{max}=\left(\prod_{i=1}^2(n-n_{i-1})p_i\right)_{max}=\frac{n!}{n^n}=\frac{1}{2},

максимальная вероятность


\left(\prod_{i=1}^2P(t_i, X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})\right)_{max}=\left(\frac{n!}{n_i!n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}\right)_{max}=
\frac{n!}{n^n}= \frac{1}{2}

равна математическому ожиданию,

максимальная дисперсия


D(X_1,X_2)_{max}=\left(\sum_{i-1}^2(n-n_{i-1})p_iq_i \right)_{max}=\frac{n^2-1}{2n}=\frac{3}{4}.

Пространство элементарных событий биномиального распределения при получении его математического ожидания


\Omega(t_1, X_1=n_1=1 \mid t_2,X_2=n_2=1)

расположено в точках t_1, t_2 временной последовательности.

Урновая модель получения математического ожидания биномиального распределения содержит одну исходную урну и две приёмные урны единичных объемов. Нумерация приёмных урн соответствует нумерации случайных величин биномиального распределения.

В начальный момент времени исходная урна содержит два различимых элемента, а приёмные урны пусты.

В первый момент времени из исходной урны выбирают один элемент n_1=1 и направляют его в первую приёмную урну с вероятностью p_1=0,5 .

Во второй момент времени оставшийся элемент n_2=1 исходной урны отправляют во вторую приёмную урну с вероятностью p_2=0,5.

В результате исходная урна пуста, а её два элемента по одному размещены в приёмных урнах. После обработки результатов разбиения исходного множества на два подмножества все элементы из приёмных урн возвращают в исходную урну. На этом один цикл повторных зависимых экспериментов закончен, и урновая модель готова к проведению следующего цикла экспериментов.

Произведение вероятностей попадания по одному произвольному элементу в каждую приёмную урну есть математическое ожидание биномиального распределения.

Изменение характеристик биномиального распределения в окрестности его математического ожидания приведено в таблице 2.

Таблица 2 – Окрестности математического ожидания биномиального распределения двух случайных величин (интерпретации 21-го века)
Числовые значения первой случайной величины X_1=n_1 Числовые значения второй случайной величины X_2=n_2| X_1=n_1 Вероятность распределения Дисперсия распределения Математическое ожидание распределения
1 1 0,50 0,75 0,50
2 0 0,25 0,50
0 2 0,25 0,50

Вероятность биномиального распределения как функция двух переменных является симметричной функцией относительно своего математического ожидания.

Биномиальное распределение как процесс выполнения взаимосвязанных действий над объектамиПравить

Объекты: множество, его подмножества и их элементы как объективная реальность, существующая вне нас и независимо от нас. Биномиальное распределение это:

  • случайный процесс безвозвратного разделения последовательно во времени  t_1, t_2 и в пространстве конечного  n- множества различимых неупорядоченных элементов на две части  n_1, n_2 случайных объёмов, сумма которых равна объёму исходного множества:  n_1+ n_2=n, \quad 2\le n<\infty ,
  • разделение множества осуществляют выборками без возвращения (изъятые из множества элементы не возвращают обратно во множество до полного окончания экспериментов),
  • вероятность попадания одного произвольного элемента множества в каждое из подмножеств принимают за вероятность соответстующей случайной величины распределения Бернулли с положительным исходом  0\le p_i<1, \quad i=1,2,
  • очерёдность следования выборок принимают за очередность следования во времени и нумерацию случайных величин  X_1, X_2 биномиального распределения,
  • случайный объём каждой выборки  n_i, \quad i=1,2 в момент времени  t_i, \quad i=1,2 принимают за числовое значение соответствующей случайной величины  X_i=n_i, \quad i=1,2 биномиального распределения,
  • первая случайная величина биномиального распределения является независимой и может принимать любое случайное значение в пределах от нуля до числового значения исходного множества  X_1=n_1, \quad  0\le n_1\le n<\infty ,
  • вторая случайная величина биномиального распределения принимает числовое значение  n_2 , равное числу элементов множества оставшееся после изъятия из него первой выборкой случайного числа элементов  n_1: \quad  n_2=n-n_1 ,
  • результаты каждого разбиения обрабатывают вероятностными методами, определяют технические характеристике всех выборок и принимают их за технические характеристики случайных величин биномиального распределения,
  • математическое ожидание биномиального распределения имеет место, когда число выборок k равно числу элементов  n-множества  k=n и численно равно  \frac{n!}{n^n}=\frac{2!}{2^2}=\frac{1}{2} .

Биномиальное распределение как цепь МарковаПравить

Биномиальное распределение появляется в последовательности двух испытаний, первое из них случайное независимое, а второе зависимое от первого испытания. Исходы испытаний конечны и счётны. По сути — это простейшая цепь Маркова. (X_0, называемое начальным распределением цепи Маркова, для биномиального распределения не имеет смысла t_0=0, \quad X_0=0, поскольку нумерация случайных величин начинается с единицы.)

Единственная переходная вероятность


P(t_2>t_1, X_2=n_2=n-n_1 \mid  t_1<t_2, X_1=n_1)

заключается в том, что вторая случайная величина X_2 во второй момент времени t_2 вынуждена принять числовое значение, равное  0\le n_2=n-n_1 \quad , при условии, что в первый момент времени t_1 первая случайная величина X_1 приняла случайное значение, равное n_1, \quad 0\le n_1\le n.

Следовательно, и вероятность биномиального распределения


\prod_{i=1}^2P(t_i,X_i=n_i \mid t_{i-1},X_{i-1}=n_{i-1})=\frac{n!}{n_1! n_2!}p_1^{n_1}p_2^{n_2}

как произведение первой независимой и второй зависимой случайных величин, является цепью Маркова.

Сумма всех вероятностей биномиального распределения равна единице p_1+p_2=1. Следовательно, биномиальное распределение как цепь Маркова, является стахостической.

Переходная вероятность биномиального распределения является дискретной функцией. Следовательно, биномиальное распределение является марковским процессом с дискретным временем.

Сравнительная оценка характеристик биномиальных распределений настоящей и традиционной интерпретацийПравить

Цель сравнительной оценки показать, что биномиальное распределение настоящей интерпретации (таблица 1) соответствует, а биномиальное распределение традиционной интерпретации не соответствует современным требованиям аксиоматики Колмогорова.

Несоответствие состоит в том, что, во-первых, биномиальное распределение традиционной интерпретации представлено распределением одной случайной величины, а по своей сути и определению оно должно быть распределением двух случайных величин.

Во-вторых, при неограниченном увеличении числа независимых испытаний ( n ) математическое ожидание (np ) биномиального распределения традиционной интерпретации устремляется к бесконечности, что недопустимо, поскольку сумма всех вероятностей распределения, включая и его математическое ожидание, в любом распределении обязана быть равной единице (см., например, таблицу 1). Кроме того, математическое ожидание (np_1 ) и дисперсия (np_1q_1 ) первой случайной величины биномиального распределения настоящей интерпретации приняты за математическое ожидание (np ) и дисперсию (npq) биномиального распределения традиционной интерпретации.

ЛитератураПравить

  1. http://ru.wikipedia.org/wiki/ Математическая физика
  2. Голоборщенко В. С. Основы теории дискретных распределений. Часть 5: Как технические задачи и технические результаты математической физики. // Проблемы создания информационных технологий. М.: ООО Техполиграфцентр, 2010. Вып. 19, с. 31–36.

См.такжеПравить

Викия-сеть

Случайная вики