Викия

Математика

Биномиальное распределение Буняковского

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

ОпределениеПравить

Биномиальное распределение Буняковского — это биномиальное распределение двух случайных величин было впервые получено Виктором Яковлевичем Буняковским  путем разложения бинома по степеням и делением каждого члена разложения на весь бином [1]. В современной записи биномиальное  распределение Буняковского имеют следующий вид:

P(\xi_1=n_1, \xi_1=n_2)= \frac{n!}{n_1! n_2!} p_1^{n_1}p_2^{n_2},

2=k \le n< \infty, \quad n_1+n_2=n, \quad p_1+p_2=1.

Биномиальное распределение Буняковского это биномиальное распределение вероятностей двух независимых случайных величин

\xi_1, \xi_2,

принимающих целые неотрицательные значения

n_1, n_2,

удовлетворяющие условиям

n_1+n_2=n,

с вероятностями

\mathbf{P}(\xi_1=n_1,\xi_2=n_2)=\frac{n!}{n_1!n_2!} p_1^{n_1} p_2^{n_2},

где p_i \geq 0, \sum_{i=1}^2 p_i = 1; является двумерным дискретным распределением случайного вектора (\xi_1,\xi_2) такого, что \xi_1+\xi_2=n.

Бииномиальное распределение Буняковского появляется в так называемой биномиальной схеме случайных экспериментов: каждая из случайных величин \xi_j —это число наступлений одного из взаимоисключающих событий x_j, j=1,\ldots,k, при повторных независимых экспериментах.

Если в каждом эксперименте вероятность наступления события x_j равна p_j, то биномиальная вероятность равна вероятности того, что при n экспериментах события x_1, x_2 наступят n_1, n_2 раз соответственно.

Каждая из случайных величин \xi_i имеет биномиальное распределение с математическим ожиданием np_i и дисперсией np_i(1-p_i).

Случайный вектор (\xi_1,\xi_2) имеет математическое ожидание (np_1,np_2)

и ковариационную матрицу

B=\| b_{ij} \|,

где

b_{ij}=\begin{cases} np_i(1-p_i), & i=j,\\-n p_i p_j, & i \not= j.\end{cases}

Характеристическая функция:

f(t_1,t_2) = \left( p_1 e^{it_1}+ p_2 e^{it_2}\right)^n.

При n\to\infty распределение случайного вектора
(\eta_1,\eta_2) с нормированными компонентами

\eta_i=(\xi_i-np_i)/\sqrt{np_i(1-p_i)}

стремится к некоторому двумерному нормальному распределению, а распределение суммы

\sum_{i=1}^2 (1-p_i)\eta_i^2,

которая используется в математической статистике при построении \chi^2-критерия, стремится к \chi^2-распределению.

ЛитератураПравить

  1. Буняковский В. Я. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ сочинение В. Я. БУНЯКОВСКОГО, ИМПЕРАТОРСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК, ОРДИНАРНОГО АКАДЕМИКА, ПРОФЕССОРА С. ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА, ДОКТОРА МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК ПАРИЖСКОЙ АКАДЕМИИ. САНКТПЕТЕРБУРГ. В Типографии Императорской Академии Наук. 1846. 477 с.

Связь с другими распределениямиПравить

Если 2<k\le n < \infty, то мультиномиальное распределение независимых случайных величин

  См. также Править

Викия-сеть

Случайная вики