Бинарная операция

Бина́рная (или двуме́стная) опера́ция — обобщение сложения, умножения, возведение в степень.

Определение

Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией на множестве $M$ называется отображение $f:M\times M \to M$, которое каждой упорядоченной паре элементов $(x,y)\in M \times M$, называемых опера́ндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества $xfy$, называемый результа́том.

Замечание

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции $\cdot$ результат её применения к двум элементам $x$ и $y$ записывается в виде $x \cdot y$.

Типы бинарных операций

Коммутативная операция

Бинарная операция $\cdot$ называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

$x\cdot y = y\cdot x,\quad \forall x,y\in M.$

Ассоциативная операция

Бинарная операция $\cdot$ называется ассоциативной, если

$(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z), \quad \forall x,y,z\in M.$

Для ассоциативной операции $\cdot$ результат вычисления $x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n$ не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение $x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n$ при $n>2$ однозначно не определено.

Альтернативная операция

Бинарная операция $\cdot$ называется альтернати́вной если

$(x\cdot x)\cdot y=x\cdot(x\cdot y)$ и $y\cdot(x\cdot x)=(y\cdot x)\cdot x,\quad \forall x,y\in M$.

Примеры

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи

Мультипликативная запись

Если абстрактную бинарную операцию на $M$ называют умноже́нием, то её результат для элементов $x,y\in M$ называют их произведе́нием и обозначают $x \cdot y$ или $xy$. В этом случае нейтральный элемент $e \in M$, то есть элемент удовлетворяющий равенствам

$x \cdot e = e \cdot x = x,\quad \forall x \in M,$

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов $x,y\in M$ называют су́ммой и обозначают $x + y$. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом $0$, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

$x+0 = 0 + x = x,\quad \forall x \in M.$

См. также

• арность
• унарная операция
• тернарная операция

Литература

• Цыпкин А. Г. Справочник по математике для средних и учебных заведений. М.: Наука, 1988, с19, с430. ISBN 5-02-013792-8.

eo:Operacio (matematiko) et:Binaarne algebraline tehe he:פעולה בינארית nl:Binaire operatie pl:Działanie dwuargumentowe sl:Dvočlena operacija sv:Binär operator uk:Бінарна операція