Викия

Математика

Бинарная операция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Бина́рная (или двуме́стная) опера́ция — обобщение сложения, умножения, возведение в степень.

Определение Править

Бинарной операцией или двуме́стной опера́цией на множестве M называется отображение f:M\times M \to M, которое каждой упорядоченной паре элементов (x,y)\in M \times M, называемых опера́ндами, ставит в соответствие некоторый элемент того же множества xfy, называемый результа́том.

Замечание Править

Бинарную операцию принято обозначать знаком действия, который ставится между операндами. Например, для бинарной операции \cdot результат её применения к двум элементам x и y записывается в виде x\cdot y.

Типы бинарных операций Править

Коммутативная операция Править

См. также основную статью: Коммутативная операция

Бинарная операция \cdot называется коммутативной, если её результат не зависит от перестановки операндов, то есть

x\cdot y = y\cdot x,\quad \forall x,y\in M.

Ассоциативная операция Править

См. также основную статью: Ассоциативная операция

Бинарная операция \cdot называется ассоциативной, если

(x\cdot y)\cdot z = x\cdot (y\cdot z), \quad \forall x,y,z\in M.

Для ассоциативной операции \cdot результат вычисления x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n не зависит от порядка вычисления (расстановки скобок), и потому позволяется опускать скобки в записи. Для неассоциативной операции выражение x_1\cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n при n>2 однозначно не определено.

Альтернативная операция Править

Бинарная операция \cdot называется альтернати́вной если

(x\cdot x)\cdot y=x\cdot(x\cdot y) и y\cdot(x\cdot x)=(y\cdot x)\cdot x,\quad \forall x,y\in M.

Примеры Править

Примерами бинарных операций могут служить сложение, умножение и вычитание на множестве вещественных чисел. Сложение и умножение чисел являются коммутативными и ассоциативными операциями, а вычитание — нет.

Записи Править

Мультипликативная запись Править

Если абстрактную бинарную операцию на M называют умноже́нием, то её результат для элементов x,y\in M называют их произведе́нием и обозначают x \cdot y или xy. В этом случае нейтральный элемент e \in M, то есть элемент удовлетворяющий равенствам

x \cdot e = e \cdot x = x,\quad \forall x \in M,

называется едини́чным элеме́нтом относительно выбранной бинарной операции.

Аддитивная запись Править

Если бинарную операцию называют сложе́нием, то образ пары элементов x,y\in M называют су́ммой и обозначают x+y. Обычно, если бинарную операцию называют сложением, то она предполагается коммутативной. Нейтральный элемент в аддитивной записи обозначают символом 0, называют нулевы́м элеме́нтом и пишут

x+0 = 0 + x = x,\quad \forall x \in M.

См. также Править

Литература Править

et:Binaarne algebraline tehehe:פעולה בינאריתnl:Binaire operatie pl:Działanie dwuargumentowe sl:Dvočlena operacija sv:Binär operator uk:Бінарна операція

Викия-сеть

Случайная вики