Билинейная форма

Билинейной формой(Билинейным функционалом) называется функция $A\colon L\times L\to \mathbb R$, где $L$ — произвольное линейное пространство, линейная по каждому из аргументов:

$A(x+z, y)=A(x,y)+A(z,y)$,

$A(x, y+z)=A(x,y)+A(x,z)$,

$A(\lambda x, y)=\lambda A(x,y)$,

$A(x, \lambda y)=\lambda A(x,y)$.

Свойства

• Билинейная форма(функционал) называется симметричной (кососимметричной), если для любых $x, y \in L$ выполнено $A(x,y)=A(y,x)$ ($A(x,y)=-A(y,x)$).

Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной.

• При фиксированном базисе $e_1,\ldots, e_n$ в $L$ билинейная форма однозначно определяется матрицей

$\begin{pmatrix} A(e_1, e_1) & A(e_1, e_2) & \ldots & A(e_1, e_n) \\ A(e_2, e_1) & A(e_2, e_2) & \ldots & A(e_2, e_n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A(e_n, e_1) & A(e_n, e_2) & \ldots & A(e_n, e_n) \end{pmatrix}$

Для любых $x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n$ и $y=y^1 e_1+y^2 e_2+\cdots+y^n e_n$

$A(x,y)=\begin{pmatrix}x^1 & x^2 & \ldots & x^n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A(e_1, e_1) & A(e_1, e_2) & \ldots & A(e_1, e_n) \\ A(e_2, e_1) & A(e_2, e_2) & \ldots & A(e_2, e_n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A(e_n, e_1) & A(e_n, e_2) & \ldots & A(e_n, e_n) \end{pmatrix} \begin{pmatrix}y^1 \\ y^2 \\ \vdots \\ y^n \end{pmatrix}$

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису

Эта статья содержит материал из статьи Билинейная форма русской Википедии.