Викия

Математика

Билинейная форма

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Билинейной формой(Билинейным функционалом) называется функция A\colon L\times L\to \mathbb R, где L — произвольное линейное пространство, линейная по каждому из аргументов:

A(x+z, y)=A(x,y)+A(z,y),

A(x, y+z)=A(x,y)+A(x,z),

A(\lambda x, y)=\lambda A(x,y),

A(x, \lambda y)=\lambda A(x,y).

Свойства Править

  • Билинейная форма(функционал) называется симметричной (кососимметричной), если для любых x,y\in L выполнено A(x,y)=A(y,x) (A(x,y)=-A(y,x)).

Любую билинейную форму можно представить в виде суммы симметричной и кососимметричной.

  • При фиксированном базисе e_1,\ldots,e_n в L билинейная форма однозначно определяется матрицей

\begin{pmatrix} A(e_1, e_1) & A(e_1, e_2) & \ldots & A(e_1, e_n) \\ A(e_2, e_1) & A(e_2, e_2) & \ldots & A(e_2, e_n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A(e_n, e_1) & A(e_n, e_2) & \ldots & A(e_n, e_n) \end{pmatrix}

Для любых x=x^1 e_1+x^2 e_2+\cdots+x^n e_n и y=y^1 e_1+y^2 e_2+\cdots+y^n e_n


A(x,y)=\begin{pmatrix}x^1 & x^2 & \ldots & x^n \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A(e_1, e_1) & A(e_1, e_2) & \ldots & A(e_1, e_n) \\ A(e_2, e_1) & A(e_2, e_2) & \ldots & A(e_2, e_n) \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A(e_n, e_1) & A(e_n, e_2) & \ldots & A(e_n, e_n) \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}y^1 \\ y^2 \\ \vdots \\ y^n \end{pmatrix}

Преобразование матрицы билинейной формы при переходе к новому базису Править


Эта статья содержит материал из статьи Билинейная форма русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики