Викия

Математика

Бесконечно малая величина

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Исчисление бесконечно малых Править

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая Править

Последовательность a_n называется бесконечно малой, если : \lim_{n \to \infty} a_n = 0. Например, последовательность чисел a_n=\frac{1} {n} — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окресности точки x_0, если \lim_{x \to x_0} f(x) = 0.

Теоремы о бесконечно малых Править

  • Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
  • Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
  • Произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
  • Если a_n — бесконечно малая последовательность, то b_n = \frac{1}{a_n} — бесконечно большая последовательность.

Бесконечно большая величина Править

Последовательность a_n называется бесконечно большой, если : \lim_{n \to \infty} a_n = \infty.

Функция называется бесконечно большой в окресности точки x_0, если \lim_{x \to x_0} f(x) = \infty.

Сравнение бесконечно малых величин Править

Как сравнивать бесконечно малые величины(Неопределённости \frac{0} {0})? Допустим, у нас есть бесконечно малые величины \alpha(x) и \beta(x) при x\to a.

  • Если \lim_{x \to a}\frac{\beta} {\alpha} = 0, то бесконечно малая величина \beta будет более высокого порядка, чем \alpha.
  • Если \lim_{x \to a}\frac{\beta} {\alpha} = \infty, то бесконечно малая величина будет более низкого порядка, чем
  • Если \lim_{x \to a}\frac{\beta} {\alpha} = c(предел конечен и не равен 0), то бесконечно малые величины являются одного порядка.
  • Если \lim_{x \to a}\frac{\beta} {\alpha} = 1, то бесконечно малые величины называются эквивалентными, и пишется \alpha \thicksim \beta.

ПримерыПравить

  • При x \to 0 \quad\sin x \thicksim x, т. к. \lim_{x \to 0}\frac{\sin x} {x} = 1
  • \lim_{x \to 0}\frac {2x^2+6x} {x} = \lim_{x \to 0}\frac{2x+6} {1} = \lim_{x \to 0} 2x+6 = 6, т. е. при x \to 0 \quad 2x^2+6x и x\,\! являются бесконечно малыми величинами одного порядка (хоть и не эквивалентны, т.к. 6 \neq 1).

См. также Править

ar:عدد لامتناهي

cs:Infinitezimální hodnotagl:Infinitesimalhe:אינפיניטסימל nl:Infinitesimaalsv:Infinitesimal

Викия-сеть

Случайная вики