Бесконечно малая величина

Исчисление бесконечно малых[]

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики. Понятие бесконечно малой величины тесно связано с понятием предела.

Бесконечно малая[]

Последовательность $a_n$ называется бесконечно малой, если : $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ . Например, последовательность чисел $a_n = \frac{1}{n}$ — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окресности точки $x_0$ , если $\lim _{x \to x_0} f(x) = 0$ .

Теоремы о бесконечно малых[]

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если $a_n$ — бесконечно малая последовательность, то $b_{n}={\frac {1}{a_{n}}}$ — бесконечно большая последовательность.

Бесконечно большая величина[]

Последовательность $a_n$ называется бесконечно большой, если : $\lim _{n \to \infty} a_n = \infty$ .

Функция называется бесконечно большой в окресности точки $x_0$ , если $\lim _{x \to x_0} f(x) = \infty$ .

Сравнение бесконечно малых величин[]

Как сравнивать бесконечно малые величины(Неопределённости $\frac{0}{0}$ )? Допустим, у нас есть бесконечно малые величины $\alpha(x)$ и $\beta (x)$ при $x\to a$ .

Если $\lim _{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=0$ , то бесконечно малая величина $\beta$ будет более высокого порядка, чем $\alpha$ .
Если $\lim _{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=\infty$ , то бесконечно малая величина $ \beta $ будет более низкого порядка, чем $ \alpha $ .
Если $\lim _{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=c$ (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малые величины являются одного порядка.
Если $\lim _{x\to a}{\frac {\beta }{\alpha }}=1$ , то бесконечно малые величины называются эквивалентными, и пишется $\alpha \thicksim \beta$ .

Примеры[]

При $x\to 0\quad \sin x\thicksim x$ , т. к. $\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x} = 1$
$\lim _{x\to 0}{\frac {2x^{2}+6x}{x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {2x+6}{1}}=\lim _{x\to 0}2x+6=6$ , т. е. при $x\to 0\quad 2x^{2}+6x$ и $x\,\!$ являются бесконечно малыми величинами одного порядка (хоть и не эквивалентны, т.к. $6\neq 1$ ).