ФЭНДОМ


Бесконе́чно дели́мое распределе́ние в теории вероятностей это распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых.

ОпределениеПравить

Случайная величина $ Y $ называется бесконечно делимой, если для любого $ n \in \mathbb{N} $ она может быть представлена в виде

$ Y = \sum\limits_{i=1}^n X^{(n)}_i $,

где $ \left\{X_i^{(n)}\right\}_{i=1}^n $ - независимые, одинаково распределённые случайные величины.

Свойства бесконечно делимых распределенийПравить

$ \phi_Y(t) = \phi^n_{X^{(n)}(t)} $.

Канонические представления бесконечно делимых распределенийПравить

Формула КолмогороваПравить

Пусть $ \phi(t) $ - характеристическая функция бесконечно делимого распределения на $ \mathbb{R} $. Тогда существует неубывающая функция $ K:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $, такая что $ \lim\limits_{u \to -\infty} K(u) = 0 $, и

$ \ln \phi(t) = i\delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{it u} - 1 - i u t}{u^2} \, dK(u) $,

где интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Формула Леви — ХинчинаПравить

Пусть $ \phi(t) $ - характеристическая функция бесконечно делимого распределения на $ \mathbb{R} $. Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации $ G:\mathbb{R} \to \mathbb{R} $, такая что

$ \ln \phi(t) = i \delta t + \int\limits_{-\infty}^{\infty}\left(e^{itu} - 1 - \frac{itu}{1+u^2}\right)\left(\frac{1+u^2}{u^2}\right)dG(u) $

ПримерыПравить

$ m(n) = \frac{\lambda^n}{n!} e^{-\lambda} $

для некоторого $ \lambda > 0 $. Тогда случайная величина $ X:\mathbb{N} \to \mathbb{R} $, имеющая вид

$ X(n) = n,\quad n \in \mathbb{N} $

не является бесконечно делимой.

См. такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Бесконечно делимое распределение русской Википедии.