Викия

Математика

Банахово пространство

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Ба́наховы пространства являются одними из важнейших объектов изучения в функциональном анализе. Они названы по имени Стефана Банаха, который их изучал.

Определение Править

Банаховым пространством называется полное нормированное векторное пространство. Это значит, что банахово пространство — это векторное пространство V над полем вещественных или комплексных чисел с определённой в нём нормой \|\cdot\| так, что любая фундаментальная последовательность в V имеет предел, который также принадлежит V.

Примеры Править

Далее обозначим через K одно из полей \mathbb{R} или \mathbb{C}.

  • Евклидовы пространства Kn с евклидовой нормой, определяемой для x = (x1, …, xn) как ||x|| = (∑ |xi|2)1/2, являются банаховыми пространствами.
  • Пространство всех непрерывных функций f : [a, b] → K, определённых на закрытом интервале [a, b] будет банаховым пространством, если мы определим его норму как ||f|| = sup { |f(x)| : x в [a, b] }. Такая функция будет нормой, так как непрерывные функции на закрытом интервале являются ограниченными. Пространство с такой нормой является полным, а полученное банахово пространство обозначается как C[a, b]. Этот пример можно обобщить к пространству C(X) всех непрерывных функций XK, где Xкомпактное пространство, или к пространству всех ограниченных непрерывных функций XK, где X — любое топологическое пространство, или даже к пространству B(X) всех ограниченных функций XK, где X — любое множество. Во всех этих примерах мы можем перемножать функции, оставаясь в том же самом пространстве: все эти примеры являются по сути банаховыми алгебрами.
  • Если p ≥ 1 — вещественное число, можно сказать, что пространство всех бесконечных последовательностей (x1, x2, x3, …) элементов из K, таких как, например, бесконечные ряды ∑ |xi|p, сходится. Если корень степени p значений этого ряда определим как p-норму такой последовательности, то наше пространство с такой нормой будет являться банаховым, а обозначаться так: l p.
  • Банахово пространство l состоит из всех ограниченных последовательностей элементов из K; норма такой последовательности определяется как точная верхняя грань абсолютных значений элементов последовательности.
  • Снова, если p ≥ 1 - вещественное число, можно рассматривать все функции интегрируемыми по Лебегу. Корень степени p этого интеграла определим как норму f. Само собой, это пространство не будет банаховым, поскольку есть ненулевые функции, чья норма будет равна нулю. Определим отношение эквивалентности следующим образом: f и g эквивалентны тогда и только тогда, когда норма fg равна нулю. Множество классов эквивалентности тогда является банаховым пространством; оно обозначается как L p[a, b]. Важно использовать именно интеграл Лебега, а не интеграл Римана, поскольку интеграл Римана не порождает полное пространство. Эти примеры можно обобщить. См., например, L p-пространства.
  • Если X и Y — банаховы пространства, то можно составить их прямую сумму XY, которое опять-таки будет банаховым пространством. Можно и обобщить этот пример к прямой сумме произвольно большого числа банаховых пространств.
  • Если M — замкнутое подпространство банахова пространства X, то факторпространство X/M снова является банаховым.
  • Наконец, любое гильбертово пространство тоже является банаховым. Обратное неверно.

Линейные операторы Править

Если V и W — банаховы пространства над одним полем K, тогда множество непрерывных K-линейных отображений A : VW обозначается L(V, W). Заметим, что в бесконечномерных пространствах не все линейные отображения автоматически являются непрерывными. L(V, W) — векторное пространство, и, если норма задана как ||A|| = sup { ||Ax|| : x in V, где ||x|| ≤ 1 }, является также и банаховым.

Пространство L(V) = L(V, V) представляет собой унитарную банахову алгебру; операция умножения в ней задаётся как композиция линейных отображений.cs:Banachův prostorhe:מרחב בנך hu:Banach-tér is:Banach-rúmnl:Banachruimte pl:Przestrzeń Banacha pms:Spassi ëd Banachsv:Banachrum uk:Банахів простір vi:Không gian Banach

Викия-сеть

Случайная вики