Викия

Математика

База топологии

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

База топологии (базис топологии, открытая база, база топологического пространства X) — семейство \mathfrak{B} открытых подмножеств X такое, что каждое открытое множество G\subset X является объединением элементов U\subset \mathfrak{B}. Понятие базы — одно из основных в топологии. Во многих вопросах, относящихся к открытым множествам некоторого пространства, достаточно ограничиться рассмотрением элементов его базы. Пространство может иметь много баз, наибольшую из которых образует семейство всех открытых множеств.

Связанные определенияПравить

  • Минимум мощностей всех баз называется весом топологического пространства X. В пространстве веса \tau существует всюду плотное множество мощности \leqslant \tau.
    • Пространства со счетной базой называются также пространствами со второй аксиомой счетности.
  • Существует двойственное понятие замкнутой базы, образованной дополнениями к элементам базы, но оно мало употребительно.

Локальность Править

Локальной базой пространства X в точке x \in X (базой точки x) называется семейство \mathfrak{B}(x) его открытых множеств, обладающее свойством: для любой окрестности ~Ox точки ~x найдется элемент V \in \mathfrak{B}(x) такой, что x \in V \subset Ox. Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются также пространствами с первой аксиомой счетности. Семейство \mathfrak{B} открытых в X множеств базой тогда и только тогда, когда оно является локальной базой каждой его точки x \in X.

Пусть \mathfrak{m},~\mathfrak{n} — некоторые координатные числа. База \mathfrak{B} пространства X называется \mathfrak{m}-точечной, если каждая точка x \in X принадлежит не более чем \mathfrak{m} элементам семейства \mathfrak{B}. В частности, при \mathfrak{m}=1 база называется дизъюнктной, при конечном \mathfrak{m}точечно конечной, при \mathfrak{m}=\mathcal{X}_0точечно счетной.

База \mathfrak{B} пространства X называется \mathfrak{m}-локальной, если для каждой точки x \in X существует ее окрестность ~Ox, пересекающаяся с не более чем \mathfrak{m} элементами семейства \mathfrak{B}. В частности, при \mathfrak{m}=1 база называется дискретной, при конечном \mathfrak{m}локально конечной, при \mathfrak{m}=\mathcal{X}_0локально счетной. База \mathfrak{B} называется \mathfrak{n}-\mathfrak{m}--точечной (\mathfrak{n}-\mathfrak{m}--локальной), если она является объединением множества мощности \mathfrak{n}\mathfrak{m}-точечных (\mathfrak{m}-локальных) баз. Таковы, например, при \mathfrak{n}=\mathcal{X}_0 ~\sigma-дизъюнктные, ~\sigma-точечно конечные, ~\sigma-дискретные, ~\sigma-локально конечные базы.

Эти понятия находят применение главным образом в критериях метризуемости пространств. Так, пространство со счетной базой или с первой аксиомой счетности и точечно счетной базой метризуемо; регулярное пространство с ~\sigma-дискретной или с ~\sigma-локально конечной базой метризуемо (обратное верно только для первого утверждения).

Равномерность Править

База \mathfrak{B} пространства X называется равномерной (k-равномерной), если для каждой точки x \in X (каждого бикомпактного подмножества F) и каждой ее (его) окрестности Ox~(OF) лишь конечное число элементов базы содержит x (пересекается с F) и одновременно пересекается с дополнением X\smallsetminus Ox~(X\smallsetminus OF). Пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно является паракомпактом с равномерной базой (колмогоровским, или T_0-пространством с k-равномерной базой).

Регулярность Править

Базой \mathfrak{B} пространства X называется регулярной, если для каждой точки x \in X и произвольной ее окрестности ~Ox существует такая окрестность ~O'x, что множество всех элементов базы, пересекающихся одновременно с ~O'x и X\smallsetminus Ox, конечно. Для метризуемости достижимого или T1-пространства необходимо и достаточно наличия в нем регулярной базы.

Вариации и обобщенияПравить

  • Обобщением понятия базы является так называемая ~\pi-база (решеточная база) — семейство \mathfrak{B} открытых в пространстве X множеств такое, что каждое непустое открытое в X множество содержит непустое множество из \mathfrak{B}, т. е. \mathfrak{B} плотно в X по Xаусдорфу. Всякая база является ~\pi-базой. Обратное неверно, например, в бикомпактном расширении Стоуна — Чеха в \mathbb{Z}^{+} множества натуральных чисел множество \mathbb{Z}^{+} образует лишь ~\pi-базу.
  • Предбаза
  • Псевдобаза

Литература Править

  • Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948
  • Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1—2, М.—Л., 1951
  • Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в втеорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973
  • Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974
  • Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968


Эта статья содержит материал из статьи База топологии русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики