База топологии

База топологии (базис топологии, открытая база, база топологического пространства X) — семейство $\mathfrak B$ открытых подмножеств X такое, что каждое открытое множество $G \subset X$ является объединением элементов $U\subset {\mathfrak {B}}$. Понятие базы — одно из основных в топологии. Во многих вопросах, относящихся к открытым множествам некоторого пространства, достаточно ограничиться рассмотрением элементов его базы. Пространство может иметь много баз, наибольшую из которых образует семейство всех открытых множеств.

Связанные определения

• Минимум мощностей всех баз называется весом топологического пространства X. В пространстве веса $\tau$ существует всюду плотное множество мощности $\leqslant \tau$.
  • Пространства со счетной базой называются также пространствами со второй аксиомой счетности.
• Существует двойственное понятие замкнутой базы, образованной дополнениями к элементам базы, но оно мало употребительно.

Локальность

Локальной базой пространства X в точке $x \in X$ (базой точки $x$) называется семейство ${\mathfrak {B}}(x)$ его открытых множеств, обладающее свойством: для любой окрестности $~Ox$ точки $~x$ найдется элемент $V\in {\mathfrak {B}}(x)$ такой, что $x\in V\subset Ox$. Пространства, имеющие счетную локальную базу в каждой точке, называются также пространствами с первой аксиомой счетности. Семейство $\mathfrak B$ открытых в X множеств базой тогда и только тогда, когда оно является локальной базой каждой его точки $x \in X$.

Пусть ${\mathfrak {m}},~{\mathfrak {n}}$ — некоторые координатные числа. База $\mathfrak B$ пространства X называется $\mathfrak m$-точечной, если каждая точка $x \in X$ принадлежит не более чем $\mathfrak m$ элементам семейства $\mathfrak B$. В частности, при ${\mathfrak {m}}=1$ база называется дизъюнктной, при конечном $\mathfrak m$ — точечно конечной, при ${\mathfrak {m}}={\mathcal {X}}_{0}$ — точечно счетной.

База $\mathfrak B$ пространства X называется $\mathfrak m$-локальной, если для каждой точки $x \in X$ существует ее окрестность $~Ox$, пересекающаяся с не более чем $\mathfrak m$ элементами семейства $\mathfrak B$. В частности, при ${\mathfrak {m}}=1$ база называется дискретной, при конечном $\mathfrak m$ — локально конечной, при ${\mathfrak {m}}={\mathcal {X}}_{0}$ — локально счетной. База $\mathfrak B$ называется ${\mathfrak {n}}-{\mathfrak {m}}-$-точечной (${\mathfrak {n}}-{\mathfrak {m}}-$-локальной), если она является объединением множества мощности ${\mathfrak {n}}{\mathfrak {m}}$-точечных ($\mathfrak m$-локальных) баз. Таковы, например, при ${\mathfrak {n}}={\mathcal {X}}_{0}$ $~\sigma$-дизъюнктные, $~\sigma$-точечно конечные, $~\sigma$-дискретные, $~\sigma$-локально конечные базы.

Эти понятия находят применение главным образом в критериях метризуемости пространств. Так, пространство со счетной базой или с первой аксиомой счетности и точечно счетной базой метризуемо; регулярное пространство с $~\sigma$-дискретной или с $~\sigma$-локально конечной базой метризуемо (обратное верно только для первого утверждения).

Равномерность

База $\mathfrak B$ пространства X называется равномерной (k-равномерной), если для каждой точки $x \in X$ (каждого бикомпактного подмножества F) и каждой ее (его) окрестности $Ox~(OF)$ лишь конечное число элементов базы содержит x (пересекается с F) и одновременно пересекается с дополнением $X\smallsetminus Ox~(X\smallsetminus OF)$. Пространство X метризуемо тогда и только тогда, когда оно является паракомпактом с равномерной базой (колмогоровским, или $T_0$-пространством с k-равномерной базой).

Регулярность

Базой $\mathfrak B$ пространства X называется регулярной, если для каждой точки $x \in X$ и произвольной ее окрестности $~Ox$ существует такая окрестность $~O'x$, что множество всех элементов базы, пересекающихся одновременно с $~O'x$ и $X\smallsetminus Ox$, конечно. Для метризуемости достижимого или T¹-пространства необходимо и достаточно наличия в нем регулярной базы.

Вариации и обобщения

• Обобщением понятия базы является так называемая $~\pi$-база (решеточная база) — семейство $\mathfrak B$ открытых в пространстве X множеств такое, что каждое непустое открытое в X множество содержит непустое множество из $\mathfrak B$, т. е. $\mathfrak B$ плотно в X по Xаусдорфу. Всякая база является $~\pi$-базой. Обратное неверно, например, в бикомпактном расширении Стоуна — Чеха в $\mathbb Z^{+}$ множества натуральных чисел множество $\mathbb Z^{+}$ образует лишь $~\pi$-базу.
• Предбаза
• Псевдобаза

Литература

• Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в общую теорию множеств и функций, М.—Л., 1948
• Урысон П. С., Труды по топологии и другим областям математики, т. 1—2, М.—Л., 1951
• Пасынков Б. А., Введение в теорию размерности. Введение в втеорию топологических пространств и общую теорию размерности, М., 1973
• Архангельский А. В., Пономарев В. И., Основы общей топологии в задачах и упражнениях, М., 1974
• Бурбаки Н., Общая топология. Основные структуры, пер. с франц., М., 1968

Эта статья содержит материал из статьи База топологии русской Википедии.