Обра́тные тригонометри́ческие фу́нкции — математические функции , являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:
аркси́нус (обозначение: arcsin)аркко́синус (обозначение: arccos)аркта́нгенс (обозначение: arctg; в иностранной литературе arctan)арккота́нгенс (обозначение: arcctg; в иностранной литературе arccotan)арксе́канс (обозначение: arcsec)арккосе́канс (обозначение: arccosec; в иностранной литературе arccsc)Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc −1 для арксинуса и т.п.; это считается неоправданным, так как возможна путаница с возведением функции в степень −1.
Основное соотношение [ ]
arcsin
x
+
arccos
x
=
π
2
,
{\displaystyle \arcsin x + \arccos x = \frac{\pi}{2},}
arctg
x
+
arcctg
x
=
π
2
.
{\displaystyle \operatorname{arctg}\, x + \operatorname{arcctg}\, x = \frac{\pi}{2}.}
/math>
Функция arccos [ ] Файл:Arccos function.png График функции
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
Арккосинусом числа m называется такой угол x , для которого
cos
x
=
m
,
0
⩽
x
⩽
π
,
|
m
|
⩽
1.
{\displaystyle \cos x = m,\qquad 0 \leqslant x \leqslant \pi, |m|\leqslant 1.}
Функция
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
cos
(
arccos
x
)
=
x
{\displaystyle \cos (\arccos x) = x }
−
1
⩽
x
⩽
1
,
{\displaystyle -1 \leqslant x \leqslant 1,}
arccos
(
cos
y
)
=
y
{\displaystyle \arccos (\cos y) = y}
0
⩽
y
⩽
π
.
{\displaystyle 0 \leqslant y \leqslant \pi.}
D
(
arccos
x
)
=
[
−
1
;
1
]
,
{\displaystyle D(\arccos x)=[-1; 1],}
E
(
arccos
x
)
=
[
0
;
π
]
.
{\displaystyle E(\arccos x)=[0; \pi].}
Свойства функции arccos [ ]
arccos
(
−
x
)
=
π
−
arccos
x
{\displaystyle \arccos(-x) = \pi - \arccos x}
(
0
;
π
2
)
.
{\displaystyle \left(0; \frac{\pi}{2}\right).}
arccos
x
>
0
{\displaystyle \arccos x > 0}
arccos
x
=
0
{\displaystyle \arccos x = 0}
x
=
1.
{\displaystyle x=1.}
arccos
x
=
{
arcsin
1
−
x
2
,
0
⩽
x
⩽
1
π
−
arcsin
1
−
x
2
,
−
1
⩽
x
⩽
0
{\displaystyle \arccos x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad 0 \leqslant x \leqslant 1 \\\pi-\arcsin \sqrt{1-x^2},\qquad -1 \leqslant x \leqslant 0
\end{matrix}\right.}
arccos
x
=
{
arctg
1
−
x
2
x
,
0
<
x
⩽
1
π
+
arctg
1
−
x
2
x
,
−
1
⩽
x
<
0
{\displaystyle \arccos x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad 0 < x \leqslant 1
\\\pi+\operatorname{arctg}\, \frac{\sqrt{1-x^2}}{x},\qquad -1 \leqslant x < 0 \end{matrix}
\right.}
Получение функции arccos [ ] Дана функция
y
=
cos
x
.
{\displaystyle y=\cos x.}
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
[
0
;
π
]
.
{\displaystyle [0; \pi].}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
[
0
;
π
]
{\displaystyle [0; \pi]}
y
=
arccos
x
,
{\displaystyle y = \arccos x,}
y
=
cos
x
{\displaystyle y=\cos x}
[
0
;
π
]
{\displaystyle [0; \pi]}
y
=
x
.
{\displaystyle y=x.}
Функция arctg [ ] Файл:Arctg.png График функции
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{arctg}\, x}
Арктангенсом числа m называется такой угол x , для каторого
tg
x
=
m
,
−
π
2
<
x
<
π
2
.
{\displaystyle \operatorname{tg}\, x = m, \qquad -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2}.}
Функций
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{arctg} x}
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{arctg} x}
tg
(
arctg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname{tg}\,(\operatorname{arctg}\, x)=x}
x
∈
R
,
{\displaystyle x \in \mathbb R,}
arctg
(
tg
y
)
=
y
{\displaystyle \operatorname{arctg}\,(\operatorname{tg}\, y)=y}
−
π
2
<
y
<
π
2
,
{\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2},}
D
(
arctg
x
)
∈
R
,
{\displaystyle D(\operatorname{arctg}\,x) \in \mathbb R,}
E
(
arctg
x
)
=
(
−
π
2
;
π
2
)
{\displaystyle E(\operatorname{arctg}\,x) = \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)}
Свойства функции arctg [ ]
arctg
(
−
x
)
=
−
arctg
x
{\displaystyle \operatorname{arctg}\,(-x) = -\operatorname{arctg}\,x}
arctg
x
>
0
{\displaystyle \operatorname{arctg}\,x>0}
x
>
0.
{\displaystyle x>0.}
arctg
x
=
0
{\displaystyle \operatorname{arctg}\,x=0}
x
=
0.
{\displaystyle x = 0.}
arctg
x
<
0
{\displaystyle \operatorname{arctg}\,x<0}
x
<
0.
{\displaystyle x<0.}
arctg
x
=
{
arccos
1
1
+
x
2
,
x
⩾
0
−
arccos
1
1
+
x
2
,
0
⩽
x
{\displaystyle \operatorname{arctg}\,x = \left\{\begin{matrix} \arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0
\\-\arccos \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}, \qquad 0 \leqslant x \end{matrix}\right.}
arctg
x
=
{
arcctg
1
x
,
x
>
0
arcctg
1
x
−
π
,
0
⩽
x
{\displaystyle \operatorname{arctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \operatorname{arcctg}\, \frac{1}{x}, x > 0
\\\operatorname{arcctg}\, \frac{1}{x} - \pi,\qquad 0\leqslant x\end{matrix}\right.}
Получение функции arctg [ ] Дана функция
y
=
tg
x
.
{\displaystyle y=\operatorname{tg}\, x.}
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{arctg}\, x}
(
−
π
2
;
π
2
)
.
{\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right).}
y
=
tg
x
{\displaystyle y=\operatorname{tg}\, x}
(
−
π
2
;
π
2
)
{\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)}
y
=
arctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{arctg}\, x}
y
=
tg
x
{\displaystyle y=\operatorname{tg}\, x}
(
−
π
2
;
π
2
)
{\displaystyle \left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2} \right)}
y
=
x
.
{\displaystyle y=x.}
Функция arcctg [ ] Арккотангенсом числа m называется такой угол x , для которого
ctg
x
=
m
,
0
<
x
π
.
{\displaystyle \operatorname{ctg}\,x = m,\qquad 0 < x \pi.}
Функция
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{arcctg}\, x}
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{arcctg}\, x}
ctg
(
arcctg
x
)
=
x
{\displaystyle \operatorname{ctg}\,(\operatorname{arcctg}\, x) = x}
x
∈
R
,
{\displaystyle x \in \mathbb R,}
arcctg
(
ctg
y
)
=
y
{\displaystyle \operatorname{arcctg}\,(\operatorname{ctg}\, y) = y}
0
<
y
<
π
,
{\displaystyle 0<y<\pi,}
D
(
arcctg
x
)
=
(
−
∞
;
∞
)
,
{\displaystyle D(\operatorname{arcctg}\, x) = (-\infty; \infty),}
E
(
arcctg
x
)
=
(
0
;
π
)
.
{\displaystyle E(\operatorname{arcctg}\, x) = (0; \pi).}
Свойства функции arcctg [ ]
arcctg
(
−
x
)
=
π
−
arcctg
x
{\displaystyle \operatorname{arcctg}\, (-x) = \pi - \operatorname{arcctg}\, x}
(
0
;
π
2
)
.
{\displaystyle \left(0; \frac{\pi}{2}\right).}
arcctg
x
>
0
{\displaystyle \operatorname{arcctg}\, x > 0}
x
.
{\displaystyle x.}
arcctg
x
=
{
arcsin
1
1
+
x
2
,
x
⩾
0
π
−
arcsin
1
1
+
x
2
,
0
⩽
x
{\displaystyle \operatorname{arcctg}\, x = \left\{\begin{matrix} \arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad x \geqslant 0
\\\pi-\arcsin \frac{1}{\sqrt{1+x^2}},\qquad 0 \leqslant x\end{matrix}\right.}
Получение функции arcctg [ ] Дана функция
y
=
ctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{ctg}\, x}
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{arcctg}\, x}
(
0
;
π
)
{\displaystyle (0; \pi)}
y
=
ctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{ctg}\, x}
(
0
;
π
)
{\displaystyle (0; \pi)}
y
=
arcctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{arcctg}\, x}
y
=
ctg
x
{\displaystyle y=\operatorname{ctg}\, x}
(
0
;
π
)
{\displaystyle (0; \pi)}
y
=
x
.
{\displaystyle y=x.}
Функция arcsec [ ] Функция arccosec [ ] Производные от обратных тригонометрических функций [ ]
(
arcsin
x
)
′
=
1
1
−
x
2
.
{\displaystyle (\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.}
(
arccos
x
)
′
=
x
1
−
x
2
.
{\displaystyle (\arccos x)' = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.}
(
arctg
x
)
′
=
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle (\operatorname{arctg}\, x)' = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.}
(
arcctg
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
.
{\displaystyle (\operatorname{arcctg}\, x)' = -\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.}
Интегралы от обратных тригонометрических функций [ ] Неопределённые интегралы [ ]
∫
arcsin
x
d
x
=
x
arcsin
x
+
1
−
x
2
+
C
,
∫
arccos
x
d
x
=
x
arccos
x
−
1
−
x
2
+
C
,
∫
arctg
x
d
x
=
x
arctg
x
−
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
,
∫
arcctg
x
d
x
=
x
arcctg
x
+
1
2
ln
(
1
+
x
2
)
+
C
,
∫
arcsec
x
d
x
=
x
arcsec
x
−
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
,
∫
arccosec
x
d
x
=
x
arccosec
x
+
ln
(
x
+
x
2
−
1
)
+
C
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arcsin x\,dx&{}=x\,\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \arccos x\,dx&{}=x\,\arccos x-{\sqrt {1-x^{2}}}+C,\\\int \operatorname {arctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arctg} \,x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcctg} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcctg} \,x+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C,\\\int \operatorname {arcsec} x\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec} x-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C,\\\int \operatorname {arccosec} \,x\,dx&{}=x\,\operatorname {arccosec} \,x+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C.\end{aligned}}}
Разложение в бесконечные ряды [ ]
arcsin
z
=
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
=
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1.
{\displaystyle
\begin{align}
\arcsin z & {}= z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots =\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1.
\end{align}
}
arccos
z
=
π
2
−
arcsin
z
=
=
π
2
−
(
z
+
(
1
2
)
z
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
7
7
+
⋯
)
=
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
2
n
+
1
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≤
1.
{\displaystyle
\begin{align}
\arccos z & {}= \frac {\pi} {2} - \arcsin z =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - (z + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {z^5} {5} + \left( \frac{1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6 } \right) \frac{z^7} {7} + \cdots ) =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{2n+1}} {(2n+1)}
; \qquad | z | \le 1.
\end{align}
}
arctg
z
=
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
=
=
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
.
{\displaystyle
\begin{align}
\operatorname{arctg}\,z & {}= z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots =\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i.
\end{align}
}
arcctg
z
=
π
2
−
arctg
z
=
=
π
2
−
(
z
−
z
3
3
+
z
5
5
−
z
7
7
+
⋯
)
=
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
−
1
)
n
z
2
n
+
1
2
n
+
1
;
|
z
|
≤
1
z
≠
i
,
−
i
.
{\displaystyle
\begin{align}
\operatorname{arcctg}\,z & {}= \frac {\pi} {2} - \operatorname{arctg}\,z =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - ( z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots ) =\\
& {}= \frac {\pi} {2} - \sum_{n=0}^\infty \frac {(-1)^n z^{2n+1}} {2n+1}
; \qquad | z | \le 1 \qquad z \neq i,-i.
\end{align}
}
arcsec
z
=
arccos
(
z
−
1
)
=
=
π
2
−
(
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
)
=
=
π
2
−
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
(
2
n
+
1
)
;
|
z
|
≥
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsec} z&{}=\arccos \left(z^{-1}\right)=\\&{}={\frac {\pi }{2}}-(z^{-1}+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{-5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{-7}}{7}}+\cdots )=\\&{}={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {z^{-(2n+1)}}{(2n+1)}};\qquad \left|z\right|\geq 1.\end{aligned}}}
arccosec
z
=
arcsin
(
z
−
1
)
=
=
z
−
1
+
(
1
2
)
z
−
3
3
+
(
1
⋅
3
2
⋅
4
)
z
−
5
5
+
(
1
⋅
3
⋅
5
2
⋅
4
⋅
6
)
z
−
7
7
+
⋯
=
=
∑
n
=
0
∞
(
(
2
n
)
!
2
2
n
(
n
!
)
2
)
z
−
(
2
n
+
1
)
2
n
+
1
;
|
z
|
≥
1.
{\displaystyle
\begin{align}
\operatorname{arccosec}\,z & {}= \arcsin\left(z^{-1}\right) =\\
& {}= z^{-1} + \left( \frac {1} {2} \right) \frac {z^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4 } \right) \frac {z^{-5}} {5} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {z^{-7}} {7} +\cdots =\\
& {}= \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {z^{-(2n+1)}} {2n+1}
; \qquad \left| z \right| \ge 1.
\end{align}
}
Для арктангенса используется также более быстро сходящийся ряд, открытый Леонардом Эйлером :
arctg
x
=
x
1
+
x
2
∑
n
=
0
∞
∏
k
=
1
n
2
k
x
2
(
2
k
+
1
)
(
1
+
x
2
)
{\displaystyle \operatorname{arctg}\,x = \frac{x}{1+x^2} \sum_{n=0}^\infty \prod_{k=1}^n \frac{2k x^2}{(2k+1)(1+x^2)}}
(член в сумме при n = 0 принимается равным 1).
См. также [ ]
pl:Funkcje odwrotne do trygonometrycznych
![{\displaystyle D(\arccos x)=[-1;1],}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/f6d718c7ecb111c1b0009748311b2bf8e13320b3)
![{\displaystyle E(\arccos x)=[0;\pi ].}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/9a8c1cf1606b108dfe2f79b02d8eaa670b02494d)
![{\displaystyle [0;\pi ].}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/2f012e61f3ba9fdea335cd2584fdcc529ce79b32)
![{\displaystyle [0;\pi ]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/83187be2c75def0900d2405fe4f0b790173cafb8)
