Арифметический корень n-й степени (n > 0) из неотрицательного числа
a
{\displaystyle \ a}
b
{\displaystyle \ b}
b
n
=
a
{\displaystyle \ b^n = a}
n
{\displaystyle \sqrt[n]{\ }}
{\displaystyle \sqrt{\ } }
n
=
2
{\displaystyle \ n=2}
b
=
a
n
{\displaystyle b=\sqrt[n]{a}}
квадратным корнем [1] кубическим корнем [2]
Основные свойства [ ]
0
n
=
0
;
1
n
=
1
;
{\displaystyle
\sqrt[n]{0} = 0; \qquad \sqrt[n]{1} = 1;
}
a
b
n
=
a
n
b
n
,
a
,
b
≥
0
;
{\displaystyle
\sqrt[n]{ab} = \sqrt[n]{a} \sqrt[n]{b}, \qquad a, \ b \ge 0;}
a
/
b
n
=
a
n
/
b
n
,
a
≥
0
,
b
>
0
;
{\displaystyle \sqrt[n]{a/b} = \sqrt[n]{a} / \sqrt[n]{b}, \qquad a \ge 0, \quad b > 0;}
a
m
n
=
(
a
n
)
m
=
(
a
1
/
n
)
m
=
a
m
/
n
.
{\displaystyle
\sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m = \left(a^{1/n}\right)^m = a^{m/n}.
}
Арифметический корень может быть разложен в бесконечный ряд по формуле
(
1
+
x
)
s
/
t
=
∑
n
=
0
∞
(
∏
k
=
0
n
(
s
+
t
−
k
t
)
(
s
+
t
)
n
!
t
n
x
n
)
,
{\displaystyle
(1+x)^{s/t} = \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{\displaystyle\prod_{k=0}^n (s+t-kt)}{(s+t)n!\,t^n}x^n\right),
}
где
|
x
|
<
1
{\displaystyle \ |x|<1}
См. также [ ] Примечания [ ]
↑ Г.Корн, Т.Корн. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М., 1974 г., п. 1.2.1
↑ М.И.Сканави. Элементарная математика. п.1.11, срт.49.
Эта статья содержит материал из статьи Арифметический корень русской Википедии.
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\ }}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/f6fa2c225b9cf1a80daa4805ec80808cea8f1a77)
![{\displaystyle b={\sqrt[{n}]{a}}}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/fa9e440ed0a094c30ff2a1e1a70211b4d1eeaafc)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{0}}=0;\qquad {\sqrt[{n}]{1}}=1;}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/3e04a65d9c8fc4ff57815db55f23549725413731)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}},\qquad a,\ b\geq 0;}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/bb628da1f4fe6ee0ae9219e8512e4ec5cdac56be)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a/b}}={\sqrt[{n}]{a}}/{\sqrt[{n}]{b}},\qquad a\geq 0,\quad b>0;}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/a3b2b9e0347dd04acaaafe1b9d44b4c47d648ae1)
![{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=\left(a^{1/n}\right)^{m}=a^{m/n}.}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/f225b3fa5ca2eeff143920b14a318227342b67b2)
