Арифме́тика (др.-греч. ἀριθμητική; от Шаблон:Lang-grc2 – число) — раздел математики, изучающий числа, их отношения и свойства. Предметом арифметики является понятие числа в развитии представлений о нём (натуральные, целые и рациональные, действительные, комплексные числа) и его свойствах. В арифметике рассматриваются измерения, вычислительные операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и приёмы вычислений. Изучением свойств отдельных целых чисел занимается высшая арифметика, или теория чисел. Теоретическая арифметика уделяет внимание определению и анализу понятия числа, в то время как формальная арифметика оперирует логическими построениями предикатов и аксиом. Арифметика является древнейшей и одной из основных математических наук; она тесно связана с алгеброй, геометрией и теорией чисел[1][2].
Причиной возникновения арифметики стала практическая потребность в счёте, простейших измерениях и вычислениях. Наука развивалась вместе с усложнением задач, требующих решения. Большой вклад в развитие арифметики внесли греческие математики, в частности философы-пифагорейцы, пытавшиеся с помощью чисел постичь и описать все закономерности мира.
В Средние века арифметику относили, вслед за неоплатониками, к числу так называемых семи свободных искусств. Основными областями практического применения арифметики тогда были торговля, навигация, строительство. В связи с этим особое значение получили приближённые вычисления иррациональных чисел, необходимые в первую очередь для геометрических построений. Особенно бурно арифметика развивалась в Индии и странах ислама, откуда новейшие достижения математической мысли проникли в Западную Европу; Россия знакомилась с математическими знаниями «и от греков, и от латин».
С наступлением Нового времени мореходная астрономия, механика, усложнившиеся коммерческие расчёты поставили новые запросы к технике вычислений и дали толчок к дальнейшему развитию арифметики. В начале XVII века Непер изобрёл логарифмы, а затем Ферма выделил теорию чисел в самостоятельный раздел арифметики. К концу века сформировалось представление об иррациональном числе как о последовательности рациональных приближений, а в течение следующего столетия благодаря трудам Ламберта, Эйлера, Гаусса арифметика включила в себя операции с комплексными величинами, приобретя современный вид.
Последующая история арифметики ознаменована критическим пересмотром её основ, попытками дедуктивного её обоснования. Теоретические обоснования представления о числе связаны в первую очередь со строгим определением натурального числа и аксиомами Пеано, сформулированными в 1889 году. Непротиворечивость формального построения арифметики была показана Генценом в 1936 году.
Основам арифметики издавна и неизменно уделяется большое внимание в начальном школьном образовании.
Предмет арифметики[]
Предметом арифметики являются числовые множества, свойства чисел и действия над числами[3]. К ней также относят вопросы, связанные с техникой счёта, измерениями[4], происхождением и развитием понятия числа[1]. Арифметика изучает натуральные и рациональные числа, или дроби[5]. На основе аксиоматической структуры множества натуральных чисел осуществляется построение других числовых множеств, включая целые, действительные и комплексные числа, проводится их анализ[1]. Иногда в рамках арифметики рассматривают также кватернионы и другие гиперкомплексные числа. Вместе с тем из теоремы Фробениуса следует, что расширение понятия числа за пределы комплексной плоскости без потери каких-либо его арифметических свойств невозможноШаблон:SfnШаблон:Sfn.
К основным действиям над числами относят сложение, вычитание, умножение и деление[3], реже возведение в степень, извлечение корня[4] и решение численных уравнений[3]. Исторически список арифметических действий также включал собственно счёт, удвоение (помимо умножения), деление на два и деление с остатком (помимо деления), поиск суммы арифметической и геометрической прогрессий[6]. Непер в своей книге «Логистическое искусство» разделил арифметические действия по ступеням. На низшей ступени находятся сложение и вычитание, на следующей — умножение и деление, далее — возведение в степень и извлечение корнейШаблон:Sfn. Известный методист И. В. Арнольд к операциям третьей ступени относил также логарифмированиеШаблон:Sfn. Традиционно арифметикой называют выполнение операций над различными объектами, как то: «арифметика квадратичных форм», «арифметика матриц»[1].
Собственно математические расчёты и измерения, необходимые для практических нужд, как то: пропорции, проценты, Шаблон:Нп3, относят к низшей или практической арифметике[3], в то время как логический анализ понятия числа относят к теоретической арифметике[1]. Свойства целых чисел, деление их на части, построение непрерывных дробей являются составной частью теории чисел[1], которую долгое время считали высшей арифметикой[3]. Арифметика также тесно связана с алгеброй, которая изучает собственно операции без учёта особенностей и свойств чисел[1][5]. Такие арифметические действия, как возведение в степень и извлечение корней, являются технической частью алгебры. В этом ключе, вслед за Ньютоном и Гауссом, алгебру принято считать обобщением арифметики[3][4]. Вообще говоря, чётких границ между арифметикой, элементарной алгеброй и теорией чисел не существует. В БСЭ сказано: «Алгебра изучает, пользуясь буквенными обозначениями, общие свойства числовых систем и общие методы решения задач при помощи уравнений; арифметика занимается приёмами вычислений с конкретно заданными числами, а в своих более высоких областях (см. Чисел теория) — более тонкими индивидуальными свойствами чисел»[7].
Как и прочие академические дисциплины, арифметика сталкивается с принципиальными методологическими проблемами; для неё необходимо исследование вопросов непротиворечивости и полноты аксиом[3]. Логическими построениями формальной системы предикатов и аксиом арифметики занимается формальная арифметика[2].
Простейшие понятия[]
Порядковый счёт, натуральные числа[]
Простейшим арифметическим понятием является порядковый счёт. Объектом счёта служат различные элементы или их множества, например: яблоки и корзины яблок. С помощью порядкового счёта можно Шаблон:D- элементы и обозначить их общее количество.
Порядковый счёт связан со счётом группами, содержащими определённое равное количество элементов, — например, счёт десятками яблок. Обычно это пальцы на двух руках (основание равно ), но в исторических источниках встречаются группировки по . Количество элементов в группе служит основанием для системы счисления[5].
Числовой ряд, получаемый при счёте, называют натуральным, а его элементы — натуральными числами. Понятие натурального ряда впервые появилось в работах греческого математика Никомаха в I веке н. э., а натурального числа — у римского автора Боэция в конце V — начале VI века. Всеобщее употребление термина начинается с работ Д’Аламбера в XVIII веке. Архимед в своей работе «Псаммит» указал, что числовой ряд можно продолжать неограниченно, но вместе с тем заметил, что для реальных задач достаточно небольшого отрезкаШаблон:Sfn. Деление натуральных чисел на чётные и нечётные приписывают пифагорейцам, оно также присутствует в египетском папирусе Ринда. Пифагорейцы также определили простые и составные числаШаблон:Sfn.
Сложение, умножение, возведение в степень[]
Для натуральных чисел естественным образом определены операции сложения и умножения. При объединении двух наборов, содержащих некоторое количество предметов, новый набор будет иметь столько предметов, сколько было в первых двух наборах вместе. Если первый набор содержал предмета, а второй — предмета, то их сумма будет содержать предметов. Указанное действие носит название сложения и является простейшей бинарной операцией[4]. Для проверки корректности суммы таблицу сложения знать не обязательно, достаточно пересчитать предметыШаблон:Sfn.
Многократное сложение элементов нескольких одинаковых множеств не зависит от порядка этих множеств, что позволило определить другую бинарную операцию — умножение[4]. Помимо умножения, в древности существовало отдельное арифметическое действие — удвоение, или умножение на дваШаблон:Sfn.
По аналогии с определением умножения через сложение, многократное умножение позволяет определить операцию возведения в степень.
Основные законы арифметики[]
Про свойства этих операций сформулированы пять законов, которые считаются основными законами арифметикиШаблон:Sfn:
- Коммутативность: переместительный закон сложения гласит, что от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Аналогичный закон известен и для умножения, но он, конечно, говорит о множителях и произведении. Эти законы можно выразить в алгебраической форме с помощью буквенных обозначений:
- Ассоциативность: сочетательный закон сложения гласит, что складывая несколько слагаемых, можно группировать их в любом порядке. Аналогичный закон для умножения говорит о перемножении множителей. Эти законы также можно выразить в алгебраической форме:
- Дистрибутивность: распределительный закон гласит: чтобы умножить сумму на число, можно умножить каждое слагаемое на это число и потом сложить полученные произведения. В алгебраической форме:
Помимо основных законов арифметики для натуральных чисел выполняются также законы монотонности сложения и умноженияШаблон:SfnШаблон:Sfn, в алгебраической форме записываемые так:
- при ;
- при и .
Термин «коммутативный» для переместительного закона ввёл в 1814 году французский математик Сервуа. Термин «ассоциативный» для сочетательного закона ввёл в 1853 году ГамильтонШаблон:Sfn.
Пуанкаре рассматривал все арифметические операции и законы с точки зрения интуиции. Утверждая, что законы очевидным образом выполняются для малых чисел, и используя правило индукции, можно прийти к выводу, что они выполняются для всех чисел. При другом подходе интуитивно выполнимыми считаются не все, а только простейшие законы, в то время как дальнейшее доказательство связано с логическими построениямиШаблон:Sfn. Очевидными принимались переместительный и сочетательный законыШаблон:Sfn. Распределительный, или дистрибутивный, закон в своих «Началах» доказывал ещё Евклид, используя геометрический методШаблон:Sfn.
Операция возведения в степень уже не коммутативна и не ассоциативна, у неё свои правила. Основные правила выполнения этой операции при положительных степенях очевидным образом следуют из её определения[4]. В алгебраической форме они могут быть записаны следующим образом:
- Дистрибутивность: распределительный закон для операции возведения в степень:
-
- он же, в случае вычитания, приобретает форму дроби:
- Повторное возведение в степень раскрывается как перемножение степеней:
- .
Обратные операции[]
У всех операций арифметики есть обратные: у сложения — вычитание, у умножения — деление, у возведения в степень — арифметический корень и логарифм. То, что у сложения и умножения по одной обратной операции, несмотря на их бинарность, объясняется их коммутативностью.
Вычитание: отрицательные числа[]
Вычитание — это операция, обратная сложению: разностью двух чисел и является неизвестная из уравнения [4]. Обозначается операция вычитания знаком «−» и записывается в виде . Для выполнения операции применяли два приёма: отсчитывание от уменьшаемого числа единиц вычитаемого или подбор такого числа, прибавление которого к вычитаемому давало бы уменьшаемоеШаблон:Sfn.
Операция вычитания, если её применять ко всем парам натуральных чисел, а не только к таким, которые могли бы быть суммой и слагаемым в рамках операции сложения, позволяет выйти за пределы натурального ряда, то есть разность двух натуральных чисел не обязательно является натуральным числом — в результате вычитания может получиться ноль или вовсе отрицательное число. Отрицательные числа уже невозможно рассматривать как количество предметов, на числовой оси они расположены левее ноля. Множество чисел, получившееся добавлением к натуральным числам отрицательных чисел и числа ноль, носит название множества целых чисел. Ноль и множество натуральных чисел называются положительные целые числа[4]. При умножении, чтобы определить, положительным или отрицательным будет произведение чисел, используют «правило знаков»Шаблон:Sfn.
Отрицательные числа считали ненастоящими и бессмысленными очень многие математики вплоть до XIX века, что, однако, не мешало их повсеместному формальному использованию. Впервые понятие отрицательных чисел появилось в Индии, где их толковали как «долг» (положительные числа — «имущество»). Распространение же отрицательные числа получили только в XVII векеШаблон:Sfn. Термин «вычитание» появился ещё у Боэция, термины «вычитаемое» и «уменьшаемое» ввёл в обиход Вольф в 1716 году, «разность» — Видман в 1489 годуШаблон:Sfn. Современное обозначение знаками «+» и «−» было также введено Видманом в конце XV века.
Деление: рациональные числа[]
Обратной к операции умножения является операция деления. Первое определение деления — это поиск числа, которое содержится в делимом столько раз, сколько единиц содержится в делителе. Такое определение дано в учебниках арифметики XIV века. Например, . Деление считалось очень сложной и громоздкой операцией. Современный способ деления, использующий частичные произведения делителя на отдельные разряды частного (деление столбиком), представлен в итальянском манускрипте 1460 годаШаблон:Sfn.
Для натуральных чисел, не являющихся множителем и произведением, известна операция деление с остатком (а определение собственно остатка от деления также называется деление по модулю). Также существует множество способов, упрощающих деление в различных частных случаях или позволяющих проверить делимость на то или иное число. Например:
- число без остатка делится на два, если его последняя цифра при десятичной записи делится на два;
- число без остатка делится на три, если сумма всех его цифр при десятичной записи делится на три;
- число без остатка делится на десять, если его последняя цифра при десятичной записи — ноль.
Операция деления, если делить не только те числа, которые можно получить умножением натуральных чисел, и при этом не выделять остаток, так же как и вычитание, позволяет выйти за пределы множества натуральных чисел. При делении могут получиться дроби, которые невозможно без остатка сократить до целого. Числа, соответствующие таким дробям, называются рациональными. За счёт осознания основанных на делении рациональных чисел происходит ещё одно расширение перечня известных видов чисел. Исторически сначала появилось понятие дроби, а затем отрицательного числаШаблон:Sfn. Такой же порядок принят в школьном курсеШаблон:Sfn.
Используется две формы записи дробей — в виде числителя и знаменателя, разделённых горизонтальной или наклонной чертой и часто сокращаемых до минимальных чисел, и в виде цифр дробной части, размещаемых после знака-разделителя целой и дробной части в позиционной записи числа. Например, результат деления 10 на 20 может быть записан как .
Взятие корня: иррациональные и комплексные числа[]
Одна из двух обратных для возведения в степень операций — взятие корня. Это поиск числа, которое при возведение в соответствующую степень будет давать известный результат. То есть, говоря алгебраически, это поиск корня для уравнения вида . Вторая обратная операция — логарифм, это корень для уравнения вида . К арифметике, как правило, относят лишь вычисление корня второй степени — квадратного корня. Корни других степеней и логарифмы арифметическими операциями не считаются.
Операция вычисления корня, если выполнять её не только для тех чисел, которые можно получить возведением в степень натуральных чисел, так же как и остальные обратные операции, позволяет выйти за пределы множества натуральных чисел. Числа, которые получаются при этом, часто не могут быть представлены в виде конечных рациональных дробей и поэтому названы иррациональными. Множество чисел, полученное добавлением к рациональным числам иррациональных, назвали вещественными или действительными.
Ещё в Древней Греции было известно о существовании несоизмеримых отрезков, как минимум, на примере сторон и диагонали квадрата со стороной, принятой за единицу, и проводились попытки получить для них точные числовые значения, что нашло отражение в «Началах» Евклида. Вещественные числа стали объектом исследований только в XVII—XVIII веках. Во второй половине XIX века Дедекинд, Кантор и Вейерштрасс сформулировали свои конструктивные способы определения вещественного числаШаблон:Sfn.
Для операции взятия корня известно следующее правило[4]:
- .
Дальнейшее расширение множества чисел было связано с невозможностью извлечения квадратного корня из отрицательного числа. С подобной задачей сталкивались в древности при решении квадратных уравнений, и такие уравнения просто считали неразрешимыми. В первой половине XVI века стали выражать решения таких уравнений через корни из отрицательных чисел и называть такие корни «мнимыми», «невозможными», «воображаемыми» и т. д.Шаблон:Sfn
Практическая арифметика[]
Практическая сторона арифметики включает в себя методы, схемы и алгоритмы для осуществления точных арифметических действий, в том числе использование счётных машин и других устройств, а также различные приёмы приближённых вычислений, которые появились в связи с невозможностью получить точный результат при некоторых измерениях и позволяют определить его порядок, то есть первые значащие цифрыШаблон:Sfn.
Точные методы[]
Начиная с XV века предлагались разные алгоритмы для осуществления арифметических операций над многозначными числами, которые отличаются характером записи промежуточных вычислений[1]. Арифметические алгоритмы построены на действующей позиционной системе счисления, когда любое положительное действительное число единственным образом представимо в виде
- где — очередная цифра записи числа , — основание системы счисления, — число разрядов целой части числа .
Все действия над числами используют таблицы сложения и умножения до десяти и основные арифметические законы. В качестве иллюстрации известный популяризатор науки Клейн приводит следующий пример:
в котором используются распределительный и сочетательный законыШаблон:Sfn.
Потребность в быстрых и точных вычислениях привела к созданию простейших счётных устройств: абака, суаньпаня, юпаны или счёт. Следующим шагом было создание Отредом в 1622 году логарифмической линейки, которая позволяет производить умножение и деление[8].
Компьютерная арифметика[]
Кнут считал арифметические действия «уделом компьютеров»Шаблон:Sfn. Первые вычислительные машины, которые позволяли механизировать четыре арифметических действия, были сконструированы в XVII веке. «Арифметическая машина» Шиккарда, как он сам её называл, была построена в 1623 году. Операции сложения и вычитания производились посредством вращения цилиндров, специальные цилиндры были также для умножения и деления. Кроме того, машина могла переносить десятки. Машина Паскаля была разработана им в 1642 году для помощи отцу в выполнении финансовых расчётов. Она имела тот же принцип действия, что и машина Шиккарда. Основную часть машины составлял механизм переноса десятков. Вместе с тем ремесленное изготовление таких машин всё ещё оставалось невыгоднымШаблон:Sfn. Попытки усовершенствовать арифмометр продолжались весь XVIII век, но только в XIX веке применение арифмометров получило широкое распространениеШаблон:Sfn.
В XX веке на смену арифмометрам пришли электронные вычислительные машины. В их основе лежат алгоритмы, которые используют наименьшее число элементарных операций для выполнения арифметических действий[1]. Компьютерная арифметика включает алгоритмы выполнения операций над числами с плавающей запятой, дробями и очень большими числамиШаблон:Sfn.
Измерение[]
Помимо предметов, которые подлежат пересчёту, существуют предметы, которые можно измерить, в первую очередь это длина и массаШаблон:Sfn. Как и при счёте, первыми мерами длины у человека были пальцы рук. Затем расстояние стали мерить шагами, двойными шагами, милями (тысяча двойных шагов), стадиями. Кроме того, для измерения длины использовали локти, ладони, сажени, дюймы. В различных регионах устанавливались свои системы мер, которые редко были кратны десятиШаблон:Sfn. Многообразие мер, в частности, позволяло обойтись без использования дробейШаблон:SfnШаблон:Sfn. Торговая арифметика включала в себя умение оперировать величинами (денежными единицами, единицами мер и весов) в недесятичной системе счисленияШаблон:Sfn.
В конце XVIII века французским революционным правительством на основании временного — а затем и архивного (законом 10 декабря 1799 года) — метра была принята метрическая система мер (окончательно Франция перешла на неё с 1 января 1840 года). Вместе с метром был определён и килограмм. В основе метрической системы лежит десятичная система. Именно это обстоятельство позволило ей распространиться почти на весь мир (исключение составляют Великобритания и США). По указу специального Международного бюро мер и весов, расположенного в Париже, в 1888 году из сплава платины и иридия были изготовлены международный метр и международный килограмм — эталоны мер и весов. Помимо мер времени и угла, все остальные единицы мер также связаны с десятичной системойШаблон:Sfn.
Приближённые методы[]
Исторически приближённые вычисления возникли при поиске длины диагонали единичного квадрата, но получили широкое распространение при переходе к десятичной системе и использовании конечных десятичных дробей вместо иррациональных чисел и чисел, выраженных бесконечной периодической дробьюШаблон:Sfn.
Для оценочных вычислений используют, в первую очередь, законы монотонности. Например, чтобы определить порядок произведения , можно воспользоваться следующей оценкой Шаблон:Sfn.
Теория чисел[]
Теория чисел, или высшая арифметика, — это наука о целых числах, которая возникла из арифметических задач, связанных с делимостью чисел[9]. Элементарная теория чисел имеет дело с проблемами, которые решают элементарными методами, обычно без использования мнимых чисел. К ней относят теорию делимости, теорию сравнений, неопределённые уравнения, разбиение на слагаемые, приближения рациональными числами, цепные дроби[10]. Основная теорема арифметики — о разбиении числа на простые сомножители единственным образом — также является частью элементарной теории чиселШаблон:Sfn.
Отдельные подклассы целых чисел, такие как простые, составные, квадратные, совершенные числа, были выделены ещё древними греками. Они вывели формулы для определения пифагоровых троек, наибольшего общего делителя, показали бесконечность числа простых чисел. Диофант провёл систематизацию задач, связанных с целыми числами. Работы Диофанта были продолжены Ферма в XVII и Эйлером в XVIII веке. Ферма занимался решением уравнений в целых числах и сформулировал без доказательства малую и великую теоремы Ферма. Эйлер, продолжая исследования Ферма, доказал малую теорему и частный случай великой теоремы Ферма. Он впервые применил математический анализ для решения задач теории чисел и создал аналитическую теорию чисел. Эйлер определил производящие функции, на основе которых были построены круговой метод и метод тригонометрических сумм[9].
В настоящее время, помимо элементарной и аналитической теории чисел, существуют такие разделы, как аддитивная, алгебраическая, вероятностная, метрическая теория чисел[9].
Теоретическая арифметика[]
В современной математике построение теории представляет собой выбор базовых свойств, или аксиом, из которых требуется вывести все положения теории, или теоремы, с помощью общепринятой логики[11]. Теоретическое построение арифметики оперирует алгебраическими понятиями. Сложность выделения основных определений арифметики связана с простотой её начальных положений. Пеано, опасаясь ложного ассоциативного ряда при использовании слов, проводил доказательства исключительно на языке символов, опираясь только на принятые им предварительные положения. Кантор и Дедекинд связали числа с множествами и абстрактными отношениями над нимиШаблон:Sfn. Теория множеств рассматривает арифметические действия как особые отношения между тройками элементов, в которых один элемент определяется через два других, или алгебраические операцииШаблон:Sfn. Говоря о теории множеств, Клейн заметил, что при этом подходе развитие теории становится «отвлечённым и мало доступным»Шаблон:Sfn.
Натуральные числа[]
В 1810 году чешский математик Больцано определил действие сложения для натуральных чисел. Независимо от него подобное определение дали немецкие математики Грассман в 1861 году и Ганкель в 1869 годуШаблон:Sfn. «Энциклопедия элементарной математики» предлагает следующее определение сложения натуральных чиселШаблон:Sfn:
Определение. Сложением натуральных чисел называется такое соответствие, которое каждой паре натуральных чисел и сопоставляет одно и только одно натуральное число , обладающее следующими свойствами:
Арифметика/рамка Сложение натуральных чисел всегда выполнимо и однозначноШаблон:Sfn. Умножение, как и сложение, определили независимо Больцано, Грассман и ГанкельШаблон:Sfn. «Энциклопедия элементарной математики» предлагает следующее определение умножения натуральных чиселШаблон:Sfn:
|
- ↑ 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокMathEnc_Arith
не указан текст - ↑ 2,0 2,1 2,2 2,3 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокMathEnc_FormArith
не указан текст - ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокebse
не указан текст - ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокbrit-arithmetic
не указан текст - ↑ 5,00 5,01 5,02 5,03 5,04 5,05 5,06 5,07 5,08 5,09 5,10 5,11 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокbse
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокbell-12
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокbse_algebra
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокcol
не указан текст - ↑ 9,0 9,1 9,2 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокMathEnc_NumTeo
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокMathEnc_ElNumTeo
не указан текст - ↑ 11,0 11,1 11,2 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокbse_method
не указан текст - ↑ 12,0 12,1 12,2 12,3 12,4 Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокbse_formal
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокde
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокfgos_n
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокfgos_n_book
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокfgos_a
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокhse
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокunicef
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокunesco
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокbrit-liberal-arts
не указан текст - ↑ Ошибка цитирования Неверный тег
<ref>
; для сносокsimbol
не указан текст