Викия

Математика

Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

В математике аппроксимацио́нной теоремой Вейерштра́сса называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке.


Формулировка Править

Пусть fнепрерывная функция, определённая на отрезке [a,b]. Тогда для любого \varepsilon > 0 существует такой многочлен p с вещественными коэффициентами, что для любого x из [a,\;b] выполнено условие |f(x)-p(x)|<\varepsilon.[1]

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома p следует считать комплексными числами.

Схема доказательства ВейерштрассаПравить

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году[2] как следствие более общего утверждения:

Пусть f(x) при каждом вещественном значении переменной x является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть \psi(x) обладает теми же свойствами, что и f, и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству \psi(-x)=\psi(x) и для нее сходится интеграл

\int \limits_{0}^\infty \psi(x)dx,

который можно обозначить как \omega. Если положить

F(x,k)=\frac{1}{2k\omega}\int\limits_{-\infty}^\infty \psi\left( \frac{x-y}{k}\right)f(y)dy,

то

f(x)=\lim\limits_{k=0}F(x,k).

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен f(x), но и что сходимость равномерная по x, меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве

\psi(x)=e^{-x^2},

видим, что F(x,k) вполне определены при всех комплексных x и являются целыми функциями. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (одна из теорем Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию f(x) можно равномерно приблизить полиномами на любом конечном интервале. Для установления теоремы в сформулированной выше форме достаточно заметить, что любую функцию, заданную и непрерывную на отрезке, можно непрерывно продолжить на всю вещественную ось.

Более того. Если к тому же f(x) периодическая функция с периодом T, то F(x,k) являются целыми периодическими функциями. Но тогда

F\left(\frac{T}{2\pi i}\ln z, k\right)

является однозначной и голоморфной функцией в области z\not =0 и, сл-но, разлагается в ряд Лорана

F=\sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n z^n = \sum \limits_{n=-\infty}^\infty c_n \exp{\left (\frac{2\pi}{T}inx \right)},

поэтому F(x,k), а значит и f(x) можно приблизить тригонометрическими полиномами.

Произвольные функции и их аналитическое представление Править

В середине 19 века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а Анализ занимался произвольными функциями. Ханкель определил их наиболее четко:

О функции y от x говорят, когда каждому значению переменной x, [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение y; при этом не существенно, зависит ли y от x во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций.[3]
Фраза "не существенно ... может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций" призвана подчеркнуть, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел полиномов. В дальнейшем выяснилось, что и самые патологические функции, напр., функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Другие применения Править

Согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

СсылкиПравить

  1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
  2. Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
  3. Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261
pl:Twierdzenie Stone'a-Weierstrassasv:Stone-Weierstrass sats

Викия-сеть

Случайная вики