Викия

Математика

Аналитическая функция

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

ОпределениеПравить

Аналитическая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция f называется аналитической в точке z0, если сужение функции f на некоторую окрестность z0 является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке z0 то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z0.

Аналитическая функция (комплексного переменного) - функция комплексного переменного f(z)=u(z)+iv(z) (где u(z) и v(z) - вещественнозначные функции комплексного переменного, являющиеся, соответственно, вещественной и мнимой частью рассматриваемой функции), для которой в некоторой области A\in\mathbb C, называемой областью аналитичности, выполняется одно из трех равносильных условий:

  1. Для вещественной и мнимой части этой функции в каждой точке z=x+iy\in A выполняются условия Коши - Римана (аналитичность в смысле Коши - Римана);
  2. Ряд Тейлора функции в каждой точке z\in A сходится и его сумма равна f(z) (аналитичность в смысле Вейерштрасса);
  3. Интеграл \int_\Gamma\,f(z)\,dz=0 для любой замкнутой кривой \Gamma\subset A (аналитичность в смысле Коши)

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность трех определений.

СвойстваПравить

  1. Если f(z) и g(z) аналитичны в области G\subset\mathbb C, то аналитическими в G также будут функции f(z)\pm g(z), f(z)\cdot g(z) и f(g(z)).
  2. Если g(z) в области G не обращается в ноль, то \frac{f(z)}{g(z)} будет аналитична в G
  3. Если f'(z) в области G не обращается в ноль, то f^{-1}(z) будет аналитична в G.

Некоторые свойства аналитических функций близки к свойствам многочленов, что, впрочем, и неудивительно - определение аналитичности в смысле Вейерштрасса свидетельствует о том, что аналитические функции - в некотором роде предельные варианты многочленов. Допустим, согласно основной теореме алгебры любой многочлен может иметь нулей числом не более его степени. Для аналитических функций справедливо аналогичное утверждение, вытекающее из теоремы единственности в альтернативной форме - множество нулей аналитической в односвязной области функции не может иметь в этой области предельных точек, в противном случае функция тождественно равна нулю.

ПримерыПравить

Все многочлены являются аналитическими функциями во всей плоскости \mathbb C. Далее, аналитическими (правда, в большинстве случаев в каких-то определенных областях) являются элементарные функции.

Но:

  1. Функция f(z)=|z| не является аналитической в \mathbb C, так как она не имеет производной в точке z=0.
  2. Функция f(z)=\overline{z} не является аналитической по тем же соображениям. Однако её сужение на вещественную ось будет аналитической функцией, так как оно будет совпадать с сужением функции f(z)=z.


ar:دالة تحليلية bg:Аналитична функцияfa:تابع تحليلیhe:פונקציה אנליטיתpl:Funkcja analityczna uk:Аналітична функція

Викия-сеть

Случайная вики