Шаблон:Сирота
Алгоритм «sum-product» — алгоритм маргинализации с помощью двунаправленной передачи сообщений на графе
Постановка задачи[]
Рассмотрим функцию:
- , где
Чтобы получить вероятность, необходимо ее нормализовать:
Нас интересуют следующие задачи:
- 1. Задача нормализации
- найти
- 2. Задача маргинализации
- найти
- 3. Задача нормализованной маргинализации
- найти
Все эти задачи являются NP-трудными, так что сложность их решения в худшем случае возрастает экспоненциально. Однако некоторые частные случаи можно решить быстрее, чем и занимается данный алгоритм.
Структура графа[]
Граф, используемый алгоритмом, состоит из вершин, соответствующих переменным, и вершин, соответствующих функциям. Функции соединены с переменными, от которых они зависят.
Пример[]
Например функции
соответствует следующий граф:
Передача сообщений[]
В графе пересылаются сообщения двух видов: от функций к переменным и от переменных к функциям.
От переменной к функции :
- (здесь — множество вершин, соседних с i)
От функции к переменной :
При этом пустое произведение считаем равным единице. Из этих формул видно, что если у вершины всего один сосед, то ее сообщение можно вычислить не зная входящих сообщений.
Алгоритм[]
Существует два подхода, в зависимости от характера полученного графа.
Подход 1[]
Предположим, что граф является деревом. Начиная с листьев будем постепенно обходить все вершины и вычислять сообщения (при этом применяется стандартное правило передачи сообщений: сообщение можно передавать только если его можно полностью построить).
Тогда за количество шагов, равное диаметру графа, работа алгоритма закончится.
Подход 2[]
Если граф не является деревом, то можно начать с того, что все переменные передают сообщение 1, а потом уже его модифицируют, когда до них доходят сообщения от функций.
Такой алгоритм в общем случае работает неверно и делает много лишнего, но все же полезен на практике.
Вычисление маргиналов[]
Когда рассылка сообщений закончена, маргиналы вычисляются по следующей формуле:
Нормализация на лету[]
Если нужно рассчитать только нормализованные маргиналы (настоящие вероятности), то можно на каждом шаге нормализовать сообщения от переменных к функциям:
- ,
где подобраны так, чтобы
Математическое обоснование алгоритма[]
С математической точки зрения алгоритм изначальное разложение
перераскладывает в произведение
- ,
где соответствует узлам-функциям, а — узлам-переменным.
Изначально, до передачи сообщений и
Каждый раз, когда приходит сообщение из функции в переменную, и пересчитываются:
- ,
Очевидно, что общее произведение от этого не меняется, а по окончании передачи сообщений станет маргиналом .
Ссылки[]
С. Николенко. Курс «Вероятностное обучение»
Шаблон:Нет интервики