Алгебра Ли

Алгебра Ли — объект абстракной алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитоземальных свойств групп Ли.

Определение[]

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется унитарный k-модуль $\mathfrak{L}$ над коммутативным кольцом $k$ с единицей, если он снабжён билинейным отображением

\mathfrak{L}^2\to\mathfrak{L},\ \ (x, y)\mapsto[x, y],

и это отображение удовлетворяет следующим двум аксиомам:

$[x,x]=0$ ;
$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$ (тождество Якоби).

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания[]

Понятия подалгебры, идеала, факторалгебры и гомоморфизма определяются обычным образом.
Лиева алгебра $\mathfrak{L}$ называется коммутативной, если $\forall x, y \in \mathfrak{L} : [x, y] = 0$ .
Особенно интересен случай, когда $k$ — поле, а $\mathfrak{L}$ — векторное пространство.
Если характеристика поля $k$ не равна $2$ , то тождество $[x,x]=0$ эквивалентно антикоммутативности $[x,y]+[y,x]=0$ .

Примеры[]

3-мерное векторное пространство[]

Обычное трехмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Ассоциативные алгебры над k и умножение в k-модуле[]

Пусть $\mathfrak{A}$ — произвольная ассоциативная алгебра над $k$ с умножением: $(x,y)$ → $xy$ . Она обладает естественной структурой алгебры Ли над $k$ , если определить скобку Ли через ассоциативное умножение: $[x, y] = xy - yx$ . Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей[]

Если M — риманово многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли относительно операции коммутирования:

[X, Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X

где X, Y — векторные поля, а $\nabla_X$ — ковариантная производная по направлению векторного поля X. Если на многообразии задана локальная система координат, то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен:

[X, Y]^i = X^j \nabla_j Y^i - Y^j \nabla_j X^i

Коммутация векторных полей X и Y эквивалентна взятию производной Ли от поля Y по направлению поля X:

[X, Y] \equiv \mathfrak{L}_X Y

.

В этом смысле тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]] \Longleftrightarrow \mathfrak{L}_X [Y,Z] = [\mathfrak{L}_X Y, Z] + [Y, \mathfrak{L}_X Z]

Множество всех дифференцирований любой k-алгебры[]

Множество $Der (\mathfrak{A})$ всех дифференцирований любой $k$ — алгебры является лиевой алгеброй с операцией $[D$ ₁ $, D$ ₂ $] = D$ ₁ $\circ D$ ₂ — $D$ ₂ $\circ D$ ₁.
Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры вида $ad x: y$ → $[x, y]; x, y \in \mathfrak{L}$ .
Они образуют в $Der (\mathfrak{L})$ подалгебру $ad \mathfrak{L}$ и отображение $x$ → $ad x$ является гомоморфизмом $\mathfrak{L}$ → $Der (\mathfrak{L})$ , называемым присоединённым представлением лиевой алгебры $\mathfrak{L}$ . Его образ $ad \mathfrak{L}$ изоморфен факторалгебре алгебры $\mathfrak{L}$ по её центру $Z(L):=\{x \in \mathfrak{L}| [x,y] = 0; \forall y\in \mathfrak{L}\}$ .