Викия

Математика

Алгебра Ли

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Алгебра Ли — объект абстракной алгебры. Естественно появляется при изучении инфинитоземальных свойств групп Ли.

Определение Править

Алгеброй Ли (иначе лиевой алгеброй) называется унитарный k-модуль \mathfrak{L} над коммутативным кольцом k с единицей, если он снабжён билинейным отображением

\mathfrak{L}^2\to\mathfrak{L},\ \ (x, y)\mapsto[x, y],

и это отображение удовлетворяет следующим двум аксиомам:

Другими словами, в алгебре Ли задана антикоммутативная операция, удовлетворяющая тождеству Якоби. Эта операция называется коммутатор или скобка Ли.

Замечания Править

Примеры Править

3-мерное векторное пространство Править

Обычное трехмерное векторное пространство является алгеброй Ли относительно операции векторного произведения.

Ассоциативные алгебры над k и умножение в k-модуле Править

Пусть \mathfrak{A} — произвольная ассоциативная алгебра над k с умножением: (x,y)xy. Она обладает естественной структурой алгебры Ли над k, если определить скобку Ли через ассоциативное умножение: [x, y] = xy - yx. Заметим, что обратное утверждение неверно: скобка Ли в общем случае не позволяет ввести ассоциативное умножение, поэтому не всякая алгебра Ли является в то же время ассоциативной алгеброй.

Алгебра Ли векторных полей Править

Если Mриманово многообразие, пространство всех заданных на нем дифференцируемых векторных полей образует бесконечномерную алгебру Ли относительно операции коммутирования:

[X, Y] = \nabla_X Y - \nabla_Y X

где X, Y — векторные поля, а \nabla_Xковариантная производная по направлению векторного поля X. Если на многообразии задана локальная система координат, то в координатном представлении коммутатор векторных полей равен:

[X, Y]^i = X^j \nabla_j Y^i - Y^j \nabla_j X^i

Коммутация векторных полей X и Y эквивалентна взятию производной Ли от поля Y по направлению поля X:

[X, Y] \equiv \mathfrak{L}_X Y.

В этом смысле тождество Якоби для алгебры векторных полей можно переписать как правило Лейбница для производной Ли:

[X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]] \Longleftrightarrow \mathfrak{L}_X [Y,Z] = [\mathfrak{L}_X Y, Z] + [Y, \mathfrak{L}_X Z]

Множество всех дифференцирований любой k-алгебры Править

Множество Der (\mathfrak{A}) всех дифференцирований любой k — алгебры является лиевой алгеброй с операцией [D1, D2] = D1 \circ D2D2\circ D1.
Присоединёнными эндоморфизмами называются дифференцирования лиевой алгебры вида ad x: y[x, y]; x, y \in \mathfrak{L}.
Они образуют в Der (\mathfrak{L}) подалгебру ad \mathfrak{L} и отображение xad x является гомоморфизмом \mathfrak{L}Der (\mathfrak{L}), называемым присоединённым представлением лиевой алгебры  \mathfrak{L}. Его образ ad \mathfrak{L} изоморфен факторалгебре алгебры \mathfrak{L} по её центру Z(L):=\{x \in \mathfrak{L}| [x,y] = 0; \forall y\in \mathfrak{L}\}.

См. также Править

Литература Править

Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений»:

pl:Algebra Liego sv:Liealgebra

Викия-сеть

Случайная вики