Викия

Математика

Алгебраическая система

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Алгебраическая система или алгебраическая структурамножество G (носитель) с заданным на нём набором операций (сигнатура), удовлетворяющим некоторой системе аксиом. То есть понятие алгебраической системы является специализацией понятия универсальной алгебры.

n-арная операция на G — это отображение прямого произведения n экземпляров множества в само множество G^n \to G. По определению, 0-арная операция — это просто выделенный элемент множества. Чаще всего рассматриваются унарные и бинарные операции, поскольку с ними легче работать. Но в связи с нуждами топологии, алгебры, комбинаторики постепенно накапливается техника работы с операциями большей арности, здесь в качестве примера можно привести теорию операд (клонов полилинейных операций) и алгебр над ними (мультиоператорных алгебр).

Для алгебраических систем естественным образом определяются морфизмы как отображения, сохраняющие операцию. Таким образом определяются категории групп, колец, R-модулей и т. п.

Если множество обладает структурой топологического пространства, и операции являются непрерывными, то называют топологической алгебраической системой. Так, в топологической группе операции умножения и взятия обратного элемента являются непрерывными.

Не все алгебраические конструкции описываются алгебраическими системами, в качестве примера иных можно упомянуть коалгебры, биалгебры, алгебры Хопфа и комодули над ними.

Список алгебраических систем Править

  • Множество можно считать вырожденной алгебраической системой с пустым набором операций.

Группоиды, полугруппы, группы Править

  • Группоид — множество с одной бинарной операцией \cdot: G\times G \to G, обычно называемой умножением.
  • Правая квазигруппа — группоид, в котором возможно правое деление, то есть уравнение x \cdot a = b имеет единственное решение для любых a и b.
  • Квазигруппа — одновременно правая и левая квазигруппы.
  • Лупа — квазигруппа с единичным элементом e\in G, таким, что a\cdot e = e \cdot a = a.
  • Полугруппа — группоид, в котором умножение ассоциативно: a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.
  • Моноид — полугруппа с единичным элементом.
  • Группа — моноид с делением. Для каждого элемента a группы можно определить обратный элемент a-1, такой, что a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e.
  • Абелева группа — группа, в которой операция коммутативна, то есть, a\cdot b = b \cdot a. Операцию в абелевой группе часто называют сложением ('+').

Кольца Править

  • Полукольцо — похоже на кольцо, но без обратимости сложения.
  • Кольцо — структура с двумя бинарными операциями: абелева группа по сложению, моноид по умножению, выполняется закон дистрибутивности:  a\cdot (b+c) = a\cdot b + a\cdot c,\quad (a+b)\cdot c = a\cdot c + b\cdot c.
  • Коммутативное кольцо — кольцо с коммутативным умножением.
  • Целостное кольцо — кольцо, в котором произведение двух ненулевых элементов не равно нулю.
  • Тело — кольцо, в котором ненулевые элементы образуют группу по умножению.
  • Поле — коммутативное кольцо, являющееся телом.

Модули Править

Алгебры Править

(xy)(xz)+(y(xz))x+((xz)x)y=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)y)x\!

Решётки Править

Литература Править

  • П. Кон «Универсальная алгебра», — М.: Мир, 1969, 351 с
  • «Общая алгебра, в 2-х томах (Серия: Справочная математическая библиотека)», В. А. Артамонов и др., под редакцией Л. А. Скорнякова, — М.: Наука, Физматлит, 1990—1991, 592 с + 480 с.ar:بنية جبرية

ca:Estructura algebraica cs:Algebraická strukturaeu:Egitura algebraikohe:מבנה אלגבריnl:Algebraïsche structuur nn:Algebraisk struktur no:Algebraisk struktur oc:Estructura algebrica pms:Strutura algébricasimple:Algebraic structure sk:Algebrická štruktúra sr:Алгебарска структура sv:Algebraisk struktur uk:Алгебраїчна система

Викия-сеть

Случайная вики