Викия

Математика

Аксиомы Пеано

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Аксиомы Пеано — система аксиом, определяющих ряд натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения рациональных и вещественных чисел.

Формулировки Править

Словесная Править

  1. 1 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
  5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая Править

Введём функцию S(x), которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

  1. 1\in\mathbb{N};
  2. x\in\mathbb{N}\rightarrow S(x)\in\mathbb{N};
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\;(S(x)=1);
  4. S(b)=a\rightarrow(S(c)=a\rightarrow b=c);
  5. P(1)\rightarrow(\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow\forall n\in\N(P(n))).

Дословный текст Править

Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.

  1. «1 есть натуральное число»;
  2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
  3. «1 не следует ни за каким натуральным числом»;
  4. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
  5. Аксиома полной индукции.

Примечание: то, что первый элемент здесь 0, а не 1, принципиального значения не имеет. У студентов, пришедших учиться в университет, тот факт, что 0 - натуральное число, вызывает небольшой шок. Во всех учебниках математики средних школ наименьшим натуральным считается единица (1). 

История Править

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано основывались на построениях Грассмана, хотя именно Пеано придал им современный вид.

Литература Править


ca:Axiomes de Peano

cs:Peanovy axiomyhu:Giuseppe Peano#A_term.C3.A9szetes_sz.C3.A1mok_Peano-axi.C3.B3m.C3.A1ipms:Assiòma ëd Peanosk:Peanova aritmetika

Викия-сеть

Случайная вики