Wikia

Математика

Аксиомы Пеано

Обсуждение0
1430статей на этой вики

Аксиомы Пеано — система аксиом, определяющих ряд натуральных чисел.

Аксиомы Пеано позволили формализовать арифметику. После введения аксиом стали возможны доказательства основных свойств натуральных и целых чисел, а также использование целых чисел для построения рациональных и вещественных чисел.

Формулировки Править

Словесная Править

  1. 1 является натуральным числом;
  2. Число, следующее за натуральным, также является натуральным;
  3. 1 не следует ни за каким натуральным числом;
  4. Если натуральное число a непосредственно следует как за числом b, так и за числом c, то b и c тождественны;
  5. (Аксиома индукции) Если какое-либо предложение доказано для 1 (база индукции) и если из допущения, что оно верно для натурального числа n, вытекает, что оно верно для следующего за n натурального числа (индукционное предложение), то это предложение верно для всех натуральных чисел.

Математическая Править

Введём функцию S(x), которая сопоставляет числу x следующее за ним число.

  1. 1\in\mathbb{N};
  2. x\in\mathbb{N}\rightarrow S(x)\in\mathbb{N};
  3. \nexists x\in\mathbb{N}\;(S(x)=1);
  4. S(b)=a\rightarrow(S(c)=a\rightarrow b=c);
  5. P(1)\rightarrow(\forall n(P(n)\rightarrow P(S(n)))\rightarrow\forall n\in\N(P(n))).

Дословный текст Править

Текст аксиом Пеано, как он приведен в оригинальном издании Пеано.

  1. «0 есть натуральное число»;
  2. «следующее за натуральным числом есть натуральное число»;
  3. «0 не следует ни за каким натуральным числом»;
  4. «всякое натуральное число следует только за одним натуральным числом»;
  5. Аксиома полной индукции.

Примечание: то, что первый элемент здесь 0, а не 1, принципиального значения не имеет. У студентов, пришедших учиться в университет, тот факт, что 0 - натуральное число, вызывает небольшой шок. Во всех учебниках математики средних школ наименьшим натуральным считается единица (1). 

История Править

Формальное определение натуральных чисел в XIX веке сформулировал итальянский математик Джузеппе Пеано.

Аксиомы Пеано основывались на построениях Грассмана, хотя именно Пеано придал им современный вид.

Литература Править


ca:Axiomes de Peano

cs:Peanovy axiomyhu:Giuseppe Peano#A_term.C3.A9szetes_sz.C3.A1mok_Peano-axi.C3.B3m.C3.A1ipms:Assiòma ëd Peanosk:Peanova aritmetika

Викия-сеть

Случайная вики