Викия

Математика

Аксиома параллельности Евклида

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Файл:Parallel postulate.png

Аксиома параллельности Евклида или пятый постулат — одна из аксиом, лежащих в основании классической планиметрии впервые описанной в «Началах Евклида».

Шаблон:Начало цитаты И если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные неограниченно эти прямые встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых. Шаблон:Конец цитаты

Евклид различает понятия постулат и аксиома, не объясняя их различия; в разных манускриптах Начал Евклида разбиение утверждений на аксиомы и постулаты различно, равно как не совпадает их порядок. В современном издании Гейберга сформулированное утверждение является пятым постулатом.

На современном языке: Шаблон:Начало цитаты Если сумма внутренних углов с общей стороной, образованных двумя прямыми при пересечении их третьей, с одной из сторон от секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются, и притом по ту же сторону от секущей. Шаблон:Конец цитаты

Эквивалент аксиомы: Шаблон:Начало цитаты В плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести одну, и только одну прямую, параллельную данной. Шаблон:Конец цитаты

В геометрии Лобачевского вместо нее используется аксиома: «в плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести по крайней мере две прямые, не пересекающиеся с данной», что позволяет создать альтернативную внутренне логически непротиворечивую систему.


Попытки доказательства Править

Пятый постулат выглядел более сложным, чем остальные исходные утверждения, кроме того, первые 26 предложений в «Началах» доказываются без его помощи. Математики с древних времён пытались исключить пятый постулат из числа исходных утверждений, то есть доказать его, опираясь на остальные постулаты и аксиомы.

За много веков было предложено много доказательств пятого постулата, но в каждом из них рано или поздно обнаруживался порочный круг (лат. circulus in demonstrando): оказывалось, что среди явных или неявных посылок содержится утверждение, которое не удаётся доказать без использования того же 5-го постулата.

Прокл (V век н. э.), опирался в своем доказательстве на допущение, что расстояние между двумя непересекающимися прямыми есть ограниченная величина; впоследствии выяснилось, что это допущение равносильно пятому постулату.

Первую известную нам попытку доказательства аксиомы параллельности Евклида предложил живший в Провансе (Франция) Лев Гарсонид (или Леви бен Гершон) (1288—1344). Его доказательство опиралось на утверждение о существовании прямоугольника.

К XVI веку относится доказательство учёного-иезуита Христофора Клавия. Доказательство основывалось на утверждении, что линия, равноотстоящая от прямой — тоже прямая.

После открытия Н. И. Лобачевским и Я. Бояи неевклидовой геометрии и доказательства её непротиворечивости стало ясно, что доказать пятую аксиому Евклида невозможно.

ЛитератураПравить

he:אקסיומת המקביליםnl:Parallellenpostulaat pl:Postulat równoległościsr:Пети постулат sv:Parallellaxiomet vi:Tiên đề Euclid về đường thẳng song song

Викия-сеть

Случайная вики