Аксиоматика теории множеств

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

Эти аксиомы были разработаны Торальфом Сколемом (Thoralf Skolem) в 1922 году, и являются развитием системы аксиом Адольфа Френкеля (Adolf Fraenkel), которая, в свою очередь, была развитием системы аксиом Эрнста Цермело (Ernst Zermelo).

Аксиомы ZFC

1. Аксиома объёмности. Два множества $a$ и $b$ равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.

$\forall a \forall b (a=b \leftrightarrow \forall c (c \in a \leftrightarrow c \in b))$

2. Аксиома пустого множества. Существует множество $e$ без единого элемента. Это множество обычно обозначается $\{\}$ или $\emptyset$.

$\exists e \forall a (a \notin e)$

3. Аксиома пары. Для любых множеств $a$ и $b$ существует множество $c$ такое, что $a$ и $b$ являются его единственными элементами. Множество $c$ обозначается $\{a,b\}$ и называется неупорядоченной парой $a$ и $b$. Если $a = b$, то $c$ состоит из одного элемента.

$\forall a \forall b \exists c \forall d (d \in c \leftrightarrow (d=a \vee d=b))$

4. Аксиома объединения. Для любого семейства $a$ множеств существует множество $b = \cup a$, называемое объединением множества $a$, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества $a$.

$\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow \exists d (d \in a \wedge c \in d))$

5. Аксиома бесконечности. Аксиомы с 1 по 4 предоставляют ограниченные возможности для формирования новых множеств. Так, по теореме Кантора во множестве $\mathcal{P}(a)$ имеется элемент, не принадлежащий $a$, поэтому, например, не существует «множества всех множеств» (парадокс Рассела). Далее введём определение: множество называется индуктивным, если оно а) содержит пустое множество и б) содержит последователь (то есть элемент $a \cup \{a\}$) каждого своего элемента. Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.

$\exists \omega (\emptyset \in \omega \wedge \forall x (x \in \omega \rightarrow x \cup \{x\} \in \omega))$

6. Схема выделения. Любому множеству $a$ и свойству $\varphi$ отвечает множество $b$, элементами которого являются те и только те элементы $a$, которые обладают свойством $\varphi$. Схема выделения содержит счётное количество аксиом, так как каждая формула $\varphi(x)$ логики первого порядка порождает аксиому.

$\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow (c \in a \wedge \varphi(c)))$

7. Аксиома множества подмножеств. Для любого множества $a$ существует множество $b$, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества $a$. Множество подмножеств множества $a$ обозначается $\mathcal{P}(a)$.

$\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow \forall d (d \in c \rightarrow d \in a))$

Если ввести отношение подмножества $\subseteq$, то эту формулу можно упростить.

$\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow c \subseteq a)$

8. Схема подстановки. Пусть $\varphi(x, y)$ — такая формула, что при любом $x_0$ из множества $X$ существует, и притом единственный, объект $y_0$ такой, что выражение $\varphi(x_0,y_0)$ истинно. Тогда объекты $c$, для каждого из которых существует $d$ из $X$ такой, что $\varphi(d, c)$ истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула $\varphi(x, y)$ порождает аксиому.

$\forall x \exists!\ y (\varphi(x, y)) \rightarrow \forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow (\exists d (d \in a \wedge \varphi(d, c)))$

9. Аксиома основания. Каждое непустое множество $s$ содержит элемент $a$ такой, что $s \cap a = \emptyset$.

$\forall s (s \neq \emptyset \rightarrow \exists a (a \in s \wedge a \cap s = \emptyset))$

10. Аксиома выбора. Для любого семейства попарно непересекающихся непустых множеств существует множество $c$ такое, что, каково бы ни было множество $x$ данного семейства, множество $x \cap c$ состоит из одного элемента.

Непротиворечивость приведённой аксиоматики на настоящий момент не установлена.

См. также

• Аксиоматика Колмогорова

Литература

• Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
• Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.

Эта статья содержит материал из статьи Аксиоматика теории множеств русской Википедии.