Викия

Математика

Аксиоматика теории множеств

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Поделиться

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Современная теория множеств строится на системе аксиом — утверждений, принимаемых без доказательства, из которых выводятся все теоремы и утверждения теории множеств.

Система аксиом Цермело — Френкеля (ZF) является стандартной системой аксиом для теории множеств. Эта и подобные ей системы аксиом любопытны потому, что любая математическая теория может быть «переведена» на язык теории множеств таким образом, что теоремы этой теории станут теоремами о множествах, доказуемыми из аксиом ZF.

К этой системе аксиом часто добавляют аксиому выбора, и называют системой Цермело — Френкеля с аксиомой выбора (ZFC).

Эта система аксиом записана на языке логики первого порядка, и содержит бесконечное количество аксиом. Существуют и другие, конечные системы. Например, система NBG (von Neumann — Bernays — Gödel) наряду с множествами рассматривает так называемые классы объектов. NBG равносильна ZF в том смысле, что любая теорема о множествах (то есть не упоминающая о классах), доказуемая в одной системе, также доказуема и в другой.

Эти аксиомы были разработаны Торальфом Сколемом (Thoralf Skolem) в 1922 году, и являются развитием системы аксиом Адольфа Френкеля (Adolf Fraenkel), которая, в свою очередь, была развитием системы аксиом Эрнста Цермело (Ernst Zermelo).

Аксиомы ZFC Править

1. Аксиома объёмности. Два множества a и b равны тогда и только тогда, когда они имеют одни и те же элементы.

\forall a \forall b (a=b \leftrightarrow \forall c (c \in a \leftrightarrow c \in b))

2. Аксиома пустого множества. Существует множество e без единого элемента. Это множество обычно обозначается \{\} или \emptyset.

\exists e \forall a (a \notin e)

3. Аксиома пары[1]. Для любых множеств a и b существует множество c такое, что a и b являются его единственными элементами. Множество c обозначается \{a,b\} и называется неупорядоченной парой a и b. Если a = b, то c состоит из одного элемента.

\forall a \forall b \exists c \forall d (d \in c \leftrightarrow (d=a \vee d=b))

4. Аксиома объединения. Для любого семейства a множеств существует множество b = \cup a, называемое объединением множества a, состоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах множества a.

\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow \exists d (d \in a \wedge c \in d))

5. Аксиома бесконечности. Аксиомы с 1 по 4 предоставляют ограниченные возможности для формирования новых множеств. Так, по теореме Кантора во множестве \mathcal{P}(a) имеется элемент, не принадлежащий a, поэтому, например, не существует «множества всех множеств» (парадокс Рассела). Далее введём определение: множество называется индуктивным, если оно а) содержит пустое множество и б) содержит последователь (то есть элемент a \cup \{a\}) каждого своего элемента. Аксиома бесконечности утверждает, что индуктивные множества существуют.

\exists \omega (\emptyset \in \omega \wedge
\forall x (x \in \omega \rightarrow x \cup \{x\} \in \omega))

6. Схема выделения. Любому множеству a и свойству \varphi отвечает множество b, элементами которого являются те и только те элементы a, которые обладают свойством \varphi. Схема выделения содержит счётное количество аксиом, так как каждая формула \varphi(x) логики первого порядка порождает аксиому.

\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow (c \in a \wedge \varphi(c)))

7. Аксиома множества подмножеств. Для любого множества a существует множество b, состоящее из тех и только тех элементов, которые являются подмножествами множества a. Множество подмножеств множества a обозначается \mathcal{P}(a).

\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow \forall d (d \in c \rightarrow d \in a))

Если ввести отношение подмножества \subseteq, то эту формулу можно упростить.

\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow c \subseteq a)

8. Схема подстановки. Пусть \varphi(x, y) — такая формула, что при любом x_0 из множества X существует, и притом единственный, объект y_0 такой, что выражение \varphi(x_0,y_0) истинно. Тогда объекты c, для каждого из которых существует d из X такой, что \varphi(d, c) истинно, образуют множество. Схема подстановки содержит счётное количество аксиом, так как каждая подходящая формула \varphi(x,y) порождает аксиому.

\forall x \exists!\  y (\varphi(x, y)) \rightarrow
\forall a \exists b \forall c (c \in b \leftrightarrow (\exists d (d \in a \wedge \varphi(d, c)))

9. Аксиома основания. Каждое непустое множество s содержит элемент a такой, что s \cap a  = \emptyset.

\forall s (s \neq \emptyset \rightarrow
\exists a (a \in s \wedge a \cap s = \emptyset))

10. Аксиома выбора. Для любого семейства попарно непересекающихся непустых множеств существует множество c такое, что, каково бы ни было множество x данного семейства, множество x \cap c состоит из одного элемента.

Непротиворечивость приведённой аксиоматики на настоящий момент не установлена.

Примечания Править

  1. Польский математик Мыцельский доказал, что аксиома пары является в этой системе следствием остальных аксиом, а поэтому может быть исключена из перечня аксиом ZF

См. также Править

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Драгалин А. Г. Математическая логика. — М.: УРСС, 2005. — 240 с.
  • Френкель А. А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. — 556 с.

Эта статья содержит материал из статьи Аксиоматика теории множеств русской Википедии.

Викия-сеть

Случайная вики