Викия

Математика

Аксиоматика вещественных чисел

1457статей на
этой вики
Добавить новую страницу
Обсуждение0 Share

Обнаружено использование расширения AdBlock.


Викия — это свободный ресурс, который существует и развивается за счёт рекламы. Для блокирующих рекламу пользователей мы предоставляем модифицированную версию сайта.

Викия не будет доступна для последующих модификаций. Если вы желаете продолжать работать со страницей, то, пожалуйста, отключите расширение для блокировки рекламы.

Аксиома́тика веще́ственных чи́сел — система аксиом, один из способов определения вещественных (действительных) чисел.

Аксиомы сложения Править

На множестве вещественных чисел, обозначаемом через \mathbb{R} (так называемую R рубленую), введена операция сложения («+»), то есть каждой паре элементов (x, y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x + y из этого же множества, называемый суммой x и y.

  1. \forall x, y \in \mathbb{R}\quad (x + y) = (y + x) (коммутативность сложения);
  2. \forall x, y, z \in \mathbb{R}\quad (x + y) + z = x + (y + z) (ассоциативность сложения);
  3. \exists 0\in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R}\quad x + 0 = x (существование нейтрального элемента по сложению — нуля);
  4. \forall x \in \mathbb{R}\quad \exists (-x): \quad x + (-x) = 0 (существование противоположного элемента).

Аксиомы умножения Править

На \mathbb{R} введена операция умножения («·»), то есть каждой паре элементов (x, y) из множества вещественных чисел ставится в соответствие элемент x \cdot y (или, сокращённо, xy) из этого же множества, называемый произведением x и y.

  1. \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) = (y \cdot x) (коммутативность умножения);
  2. \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x \cdot y) \cdot z = x \cdot (y \cdot z) (ассоциативность умножения);
  3. \exists 1\in \mathbb{R} \quad \forall x \in \mathbb{R} \quad x\cdot 1=x (существование нейтрального элемента по умножению — единицы);
  4. \forall x\in\mathbb{R}\backslash \{0\} \quad \exists x^{-1}: \quad x\cdot x^{-1}=1 (существование обратного элемента).

Связь сложения и умножения Править

  1. \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x + y) \cdot z = x \cdot z + y \cdot z (дистрибутивность относительно сложения).

Аксиомы порядка Править

На\mathbb{R}   задано отношение порядка «\leq» (меньше или равно), то есть для любой пары x, y из \mathbb{R} выполняется хотя бы одно из условий x \leq yилиy \leq x.

  1. \forall x \in \mathbb{R} \quad x \leq x;
  2. \forall x, y, z \in\mathbb{R} \quad (x \leq y \and y \leq z) \Rightarrow x \leq z;
  3. \forall x, y \in \mathbb{R} \quad (x \leq y \and y \leq x) \Rightarrow  x=y.

Связь отношения порядка и сложения Править

  1. \forall x,y,z\in\mathbb{R} \quad x\leq y \quad \Rightarrow \quad x+z\leq y+z.

Связь отношения порядка и умножения Править

  1. \forall x, y, z \in \mathbb{R} \quad (x \leq y \and 0 \leq z) \Rightarrow x \cdot z \leq y \cdot z.

Аксиома непрерывности Править

\forall X, Y \subset \mathbb{R} \quad (X, Y \neq \emptyset \;\and\; (\forall x \in X\; \forall y \in Y \quad x \leq y)) \Rightarrow \exists c \in \mathbb{R}: \forall x \in X\; \forall y \in Y \ x \leq c \leq y

Следствия аксиом Править

Непосредственно из аксиом следуют некоторые важные свойства вещественных чисел, например, единственность нуля, противоположного и обратного элементов.

Шаблон:Нет ссылок

Викия-сеть

Случайная вики