ФЭНДОМ


Аксиома́тика Колмого́рова — общепринятый аксиоматический подход к математическому описанию события и вероятности; предложен Андреем Николаевичем Колмогоровым в 1929, окончательно в 1933; придал теории вероятностей стиль, принятый в современной математике.

История аксиоматизации теории вероятностей Править

Проблема аксиоматизации теории вероятностей включена Д. Гильбертом в формулировку его 6-й проблемы «Математическое изложение основ физики»:

«С исследованиями по основаниям геометрии близко связана задача об аксиоматическом построении по этому же образцу тех физических дисциплин, в которых уже теперь математика играет выдающуюся роль: это в первую очередь теория вероятностей и механика. Что касается аксиом теории вероятностей, то мне казалось бы желательным, чтобы параллельно с логическим обоснованием этой теории шло рука об руку строгое и удовлетворительное развитие метода средних значений в математической физике, в частности, в кинетической теории газов».

До Колмогорова попытки аксиоматизировать теорию вероятностей предпринимали Г. Больман (1908), С. Н. Бернштейн (1917), Р. Мизес (1919 и 1928), а также А. Ломницкий (1923) на базе идей Э. Бореля о связи понятий вероятности и меры.

А. Н. Колмогоров под влиянием идей теорий множеств, меры, интегрирования, функций сформулировал простую систему аксиом (вообще говоря, не являющуюся единственной), которая позволила описать уже существовавшие к тому времени классические разделы теории вероятностей, дать толчок развитию её новых разделов, например, теории случайных процессов, и стала общепринятой в современной теории вероятностей.

Колмогоровские аксиомы элементарной теории вероятностей Править

Элементарная теория вероятностей — та часть теории вероятностей, в которой приходится иметь дело с вероятностями лишь конечного числа событий. Теория вероятностей, как математическая дисциплина, может и должна быть аксиоматизирована совершенно в том же смысле, как геометрия или алгебра. Это означает, что, после того как даны названия изучаемым объектам и их основным отношениям, а также аксиомы, которым эти отношения должны подчиняться, всё дальнейшее изложение должно основываться исключительно лишь на этих аксиомах, не опираясь на обычное конкретное значение этих объектов и их отношений. Аксиоматизация теории вероятностей может быть проведена различными способами как в отношении выбора аксиом, так и выбора основных понятый и основных соотношений. Если преследовать цель возможной простоты как самой системы аксиом, так и построения на ней дальнейшей теории, то представляется наиболее целесообразным аксиоматизирование понятии случайного события и его вероятности.

Пусть $ \Omega $ — множество элементов $ \omega $, которые называются элементарными событиями, а $ \mathcal{F} $ — множество подмножеств $ \Omega $, называемых случайными событиями (или просто — событиями), а $ \Omega $ — пространством элементарных событии.

  • Аксиома I (алгебра событий). $ \mathcal{F} $ является алгеброй событий.
  • Аксиома II (существование вероятности событий). Каждому событию $ x $ из $ \mathcal{F} $ поставлено в соответствие неотрицательное действительное число $ \mathbf{P}(x) $, которое называется вероятностью события $ x $.
  • Аксиома III (нормировка вероятности). $ \mathbf{P}(\Omega)=1 $.
  • Аксиома IV (аддитивность вероятности). Если события $ x $ и $ y $ не пересекаются, то
$ \mathbf{P}(x+y)= \mathbf{P}(x)+ \mathbf{P}(y) $.

Совокупность объектов $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) $, удовлетворяющую аксиомам I—IV, называется вероятностным пространством (у Колмогорова: поле вероятностей).

Система аксиом I—IV непротиворечива. Это показывает следующий пример: $ \Omega $ состоит из единственного элемента $ \omega $, $ \mathcal{F} $ — из $ \Omega $ и невозможного событий (пустого множества) $ \varnothing $, при этом положено $ \mathbf{P}(\Omega)=1, \mathbf{P}(\varnothing)=0 $. Однако эта система аксиом не является полной: в разных вопросах теории вероятностей рассматриваются различные вероятностные пространства.

Колмогоровская эмпирическая дедукция аксиом Править

Обычно можно предполагать, что система $ \mathcal{F} $ рассматриваемых событий $ x, y, z,\ldots, $ которым приписаны определённые вероятности, образует алгебру событий, содержащую в качестве элемента множество $ \Omega $ (аксиома I, а также первая часть аксиомы II — существование вероятности). Можно практически быть уверенным, что если эксперимент повторен большое число $ n $ раз и если при этом через $ m $ обозначено число наступления события $ x $, то отношение $ m/n $ будет мало отличаться от $ \mathbf{P}(x) $. Далее ясно, что $ 0 \leq m/n \leq 1 $, так что вторая часть аксиомы II оказывается вполне естественной. Для события $ \Omega $ всегда $ m=n $, благодаря чему естественно положить $ \mathbf{P}(\Omega)=1 $ (аксиома III). Если, наконец, $ x $ и $ y $ несовместны между собой (то есть события $ x $ и $ y $ не пересекаются как подмножества $ \Omega $), то $ m=m_1+m_2 $, где $ m, m_1, m_2 $ обозначают соответственно число экспериментов, исходами которых служат события $ x+y, x, y $. Отсюда следует:

$ \frac{m}{n}=\frac{m_1}{n}+\frac{m_2}{n}. $

Следовательно, является уместным положить

$ \mathbf{P}(x+y)=\mathbf{P}(x)+\mathbf{P}(y) $ (аксиома IV).

Аксиома непрерывности и бесконечные вероятностные пространства Править

В отличие от элементарной теории вероятностей, теоремы, которые выводятся в общей математической теории вероятностей, естественно применяются также и к вопросам, связанным с бесконечным числом случайных событии, однако при изучении этих последних применяются существенно новые принципы. В большей части современной теории вероятностей предполагается, что кроме аксиом элементарной теории вероятностей (I—IV) выполняется ещё следующая

  • Аксиома V (аксиома непрерывности). Для убывающей последовательности
$ x_1 \supseteq x_2 \ldots \supseteq x_n \supseteq \ldots $

событий из $ \mathcal{F} $ такой, что

$ \bigcap_{n} x_n = \varnothing, $

имеет место равенство

$ \lim_{n} \mathbf{P}(x_n) = 0. $

Аксиома непрерывности — это единственная аксиома современной теории вероятностей, относящаяся именно к ситуации бесконечного числа случайных событий. Обычно в современной теории вероятностей вероятностным пространством называется только такое вероятностное пространство $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) $, которое, кроме того, удовлетворяет аксиоме V. Вероятностные пространства в смысле аксиом I—IV Колмогоров предлагал называть вероятностными пространствами в расширенном смысле (у Колмогорова поле вероятностей в расширенном смысле), в настоящее время этот термин употребляется крайне редко. Заметим, что если система событий $ \mathcal{F} $ конечна, аксиома V следуeт из аксиом I—IV. Все модели с вероятностными пространствами в расширенном смысле удовлетворяют, следовательно, аксиоме V. Система аксиом I—V является, непротиворечивой и неполной. Напротив, для бесконечных вероятностных пространств аксиома непрерывности V является независимой от аксиом I—IV.

Так как новая аксиома существенна лишь для бесконечных вероятностных пространств, то почти невозможно разъяснить её эмпирическое значение, например, так, как это было проделано с аксиомами элементарной теории вероятности (I—IV). При описании какого-либо действительно наблюдаемого случайного процесса можно получать только конечные поля — вероятностные пространства в расширенном смысле. Бесконечные вероятностные пространства появляются как идеализированные схемы действительных случайных явлений. Общепринято молчаливо ограничиваться такими схемами, которые удовлетворяют аксиоме V, что оказывается целесообразным и эффективным в различных исследованиях.

Бесконечные вероятностные пространства и «идеальные события» Править

Алгебра $ \mathcal{F} $ событий пространства элементарных событий $ \Omega $ называется борелевской алгеброй, если все счётные суммы $ \sum_{n} x_n $ событий $ x_n $ из $ \mathcal{F} $ принадлежат $ \mathcal{F} $. В современной теории вероятностей борелевские алгебры событий обычно называют $ \sigma $-алгебрами событий (сигма-алгебрами). Пусть дано вероятностное пространство в расширенном смысле $ (\Omega, \mathcal{F}_0, \mathbf{P}) $. Известно, что существует наименьшая сигма-алгебра $ \mathcal{F}=\sigma(\mathcal{F}_0) $, содержащая $ \mathcal{F}_0 $. Более того, справедлива

Теорема (о продолжении). Определённую на $ (\Omega, \mathcal{F}_0) $ неотрицательную счётно-аддитивную функцию множеств $ \mathbf{P} = \mathbf{P}(\cdot) $ всегда можно продолжить с сохранением обоих свойств (неотрицательности и счётной аддитивности) на все множества из $ \mathcal{F} $ и при этом единственным образом.

Таким образом, каждое вероятностное пространство в расширенном смысле $ (\Omega, \mathcal{F}_0, \mathbf{P}) $ может быть математически корректно продолжено до бесконечного вероятностного пространства $ (\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P}) $, которое в современной теории вероятностей принято называть просто вероятностным пространством.

Вместе с тем множества из сигма-алгебры $ \mathcal{F} $ бесконечного вероятностного пространства можно рассматривать только как «идеальные события», которым ничего не соответствует в реальном мире. Если, однако, рассуждение, которое использует вероятности таких «идеальных событий» приводит к определению вероятностей «реального события» из $ \mathcal{F} $, то это определение, очевидно, автоматически будет непротиворечивым и с эмпирической точки зрения.

Литература Править

  • Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М., ГНТИ, 1936.
  • Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. 2-е издание. М.: Наука, 1974.
  • Больман (Bohlmann G.) Die Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung in ihrer Anwendung auf die Lebensversicherung // Atti del IV Congresso internazionale dei Matematici. — Roma, 6-11 Aprile. 1908. V.III. Sezione IIb. — Roma: Accademia dei Lincei, 1909.
  • Бернштейн С. Н. Опыт аксиоматического обоснования теории вероятностей // Сообщ. Харьковск. Матем. Об-ва, 1917, Вып. 15, с.209-274.
  • Борель (Borel E.) Sur les probabilities denombrables et leurs applications arithmetiques // Rend. Circ. Mat. Palermo, 1909, № 26, p.247-271.
  • Ломницкий (Lomnicki A.) Nouveaux fondements du calcul des probabilities // Fund. Math., 1923, v.4, p.34-71.
  • Мизес (Mises R. von) Grunflagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung // Math. Ztschr., 1919, v.5, p.52-99.

См.такжеПравить


Эта статья содержит материал из статьи Аксиоматика Колмогорова русской Википедии.