Плотность вероятности
Данная страница частично или полностью использует материалы российской Википедии, распространяемы на основе свободной лицензии.
Пло́тность вероя́тности — один из способов задания вероятностной меры на евклидовом пространстве 
. В случае когда вероятностная мера является распределением случайной величины, говорят о плотности случайной величины.
Содержание |
[править] Плотность вероятности
Пусть 
является вероятностной мерой на , то есть определено вероятностное пространство 
, где 
обозначает борелевскую σ-алгебру на . Пусть 
обозначает меру Лебега на .
Определение 1. Вероятность называется абсолютно непрерывной (относительно меры Лебега) (
), если любое борелевское множество нулевой меры Лебега также имеет вероятность нуль:
Если вероятность абсолютно непрерывна, то согласно теореме Радона-Никодима существует неотрицательная борелевская функция 
такая, что
-
,
где использовано общепринятое сокращение 
, и интеграл понимается в смысле Лебега.
Определение 2. Функция 
, определённая выше, называется производной Радона-Никодима вероятности относительно меры или плотностью вероятности (относительно меры ):
-
.
[править] Свойства плотности вероятности
- Плотность вероятности определена почти всюду. Если является плотностью вероятности и
почти всюду относительно меры Лебега, то и функция 
также является плотностью вероятности .
- Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
-
.
Обратно, если 
— неотрицательная п.в. функция, такая что 
, то существует абсолютно непрерывная вероятностная мера на такая, что является её плотностью.
- Замена меры в интеграле Лебега:
-
,
где 
любая борелевская функция, интегрируемая относительно вероятностной меры .
[править] Плотность случайной величины
Пусть определено произвольное вероятностное пространство 
, и 
случайная величина (или случайный вектор). 
индуцирует вероятностную меру 
на 
, называемую распределением случайной величины .
Определение 3. Если распределение абсолютно непрерывно относительно меры Лебега, то его плотность 
называется плотностью случайной величины . Сама случайная величина называется абсолютно непрерывной.
Таким образом для абсолютно непрерывной случайной величины имеем:
-
.
[править] Замечания
- Не всякая случайная величина абсолютно непрерывна. Любое дискретное распределение, например, не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, а потому дискретные случайные величины не имеют плотности.
- Функция распределения абсолютно непрерывной случайной величины непрерывна и может быть выражена через плотность следующим образом:
-
.
В одномерном случае:
-
.
Если 
, то 
, и
-
.
В одномерном случае:
-
.
- Математическое ожидание функции от абсолютно непрерывной случайной величины может быть записано в виде:
-
,
где 
— борелевская функция, так что 
определено и конечно.
[править] Плотность преобразования случайной величины
Пусть — случайная величина, и 
— инъективная непрерывно дифференцируемая функция такая, что 
, где 
— якобиан функции в точке 
. Тогда случайная величина 
также абсолютно непрерывна, и её плотность имеет вид:
-
.
В одномерном случае:
-
.
[править] Примеры абсолютно непрерывных распределений
- Бета распределение;
- Распределение Вейбулла;
- Гамма распределение;
- Распределение Коши;
- Логнормальное распределение;
- Нормальное распределение;
- Непрерывное равномерное распределение
- Распределение Парето;
- Распределение Стьюдента;
- Распределение Фишера;
- Распределение хи-квадрат;
- Экспоненциальное распределение;
- Многомерное нормальное распределение.
[править] См. также
Эта статья содержит материал из статьи Плотность вероятности русской Википедии.
